Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Determine todos os pontos (a,b) de [tex3]R^{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]R^{2}[/tex3]

tais que por (a,b) passem duas retas tangentes ao gráfico de f (x) = [tex3]x^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2}[/tex3]

Resposta

---

(a,b) tal que b < [tex3]a^{2}[/tex3]

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[tex3]a^{2}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

A equação geral das retas tangentes ao gráfico de f( x ) = x² é

S : y - f( p ) = f'( p ).( x - p ).

Ou seja;

S : y - p² = 2p.( x - p ).

A reta tangente S passa pelo ponto ( a , b ) se e só se está satisfeita a equação b - p² = 2p.( a - p ).

Consideremos tal equação na variável p.
Para que existam duas retas tangentes passando pelo ponto ( a , b ) é necessário que existam duas soluções distintas ( na variável p ) para tal equação. Tal equação é do segundo grau na variável p. Reescrevamo-la como

b - p² = 2ap - 2p²

p² - 2ap + b = 0.

Completando quadrado , resulta que;

( p - a )² - a² + b = 0.

Donde segue

( p - a )² = a² - b.

Essa equação tem duas soluções distintas se e somente se a² - b > 0 , ou seja, se e somente b < a².

O conjunto { ( a , b ) ∈ IR² : b < a² } é a região do plano que está abaixo do gráfico da parábola y = x².


Bons estudos!