A equação geral das retas tangentes ao gráfico de f( x ) = x² é
S : y - f( p ) = f'( p ).( x - p ).
Ou seja;
S : y - p² = 2p.( x - p ).
A reta tangente S passa pelo ponto ( a , b ) se e só se está satisfeita a equação b - p² = 2p.( a - p ).
Consideremos tal equação na variável p.
Para que existam duas retas tangentes passando pelo ponto ( a , b ) é necessário que existam duas soluções distintas ( na variável p ) para tal equação. Tal equação é do segundo grau na variável p. Reescrevamo-la como
b - p² = 2ap - 2p²
p² - 2ap + b = 0.
Completando quadrado , resulta que;
( p - a )² - a² + b = 0.
Donde segue
( p - a )² = a² - b.
Essa equação tem duas soluções distintas se e somente se a² - b > 0 , ou seja, se e somente b < a².
O conjunto { ( a , b ) ∈ IR² : b < a² } é a região do plano que está abaixo do gráfico da parábola y = x².