Ensino Superior

Um ponto desloca-se sobre a hipérbole xy=4 de tal modo que a velocidade de y é [tex3]\frac{dy}{dt} = \beta [/tex3] , [tex3]\beta [/tex3] constante . Mostre que a aceleração da abscissa x é [tex3]\frac{\beta ^{2}x^{3}}{8}[/tex3]

Mensagem não lidapor **erihh3** » Sáb 26 Jan, 2019 03:30

Vamos derivar a equação da parábola em relação a x:

[tex3]y=\frac{4}{x}[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dx}=4\frac{d\frac{1}{x}}{dt}[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dx}=-\frac{4}{x^2}[/tex3] (i)

Vamos analisar a expressão de [tex3]\beta[/tex3] dada

[tex3]\frac{dy}{dt}=\beta[/tex3]

Regra da cadeia

[tex3]\frac{dy}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}=\beta[/tex3]

Substituindo (i) na expressão acima, tem-se:

[tex3]-\frac{4}{x^2}\cdot \frac{dx}{dt}=\beta[/tex3]

[tex3]\frac{dx}{dt}=-\frac{\beta x^2}{4}[/tex3] (ii)

Derivando em relação ao tempo novamente

[tex3]\frac{d^2x}{dt^2}=a(x)=-\frac{\beta }{4}\cdot \frac{dx^2}{dt}[/tex3]

Regra da cadeia

[tex3]a(x)=-\frac{\beta }{4}\cdot \frac{dx^2}{dx}\cdot \frac{dx}{dt}[/tex3]

Substituindo o valor de (ii) na expressão acima, tem-se:

[tex3]a(x)=-\frac{\beta }{4}\cdot 2x\cdot \(-\frac{\beta x^2}{4}\)[/tex3]

[tex3]a(x)=\frac{\beta ^{2}x^{3}}{8}[/tex3]

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