Observe
Somente agora encontrei um tempo...
Uma solução:
y.y'² - 2xy' + y = 0
Olhe para essa equação diferencial como uma equação do 2° grau, temos que:
∆ = ( - 2x )² - 4.y.y
∆ = 4x² - 4y²
( está parecendo com algo relacionado a uma das respostas )
Então;
y.y' = x ± √( x² - y² ) ( temos duas equações homogêneas , suponho que o seu professor já tenha explicado isso, por isso , não vamos perder tempo com a explicação do porquê dessas EDO serem homogêneas , além disso , trata-se também de uma EDO de primeira ordem não linear ).
Como as duas equações são homogêneas, podemos utilizar o seguinte artifício [tex3]\frac{y}{x}=u[/tex3]
→ y = xu e dy = xdu + udx , com o objetivo de transformar essas duas equações numa EDO de variáveis separáveis.
Fica;
[tex3]y\frac{dy}{dx}=x+\sqrt{x^2-y^2}[/tex3]
[tex3](x+\sqrt{x^2-y^2})dx-ydy=0[/tex3]
Substituindo àqueles artifícios que eu expliquei acima em [tex3](x+\sqrt{x^2-y^2})dx-ydy=0[/tex3]
, vem;
[tex3][x+\sqrt{x^2-(xu)^2}]dx-xu(xdu+udx)=0[/tex3]
[tex3][x+\sqrt{x^2(1-u^2)}]dx-x^2udu-u^2xdx=0[/tex3]
[tex3]\therefore [/tex3]
[ 1 + √( 1 - u² ) - u² ].xdx = x²udu
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx=\int\limits_{}^{}\frac{u}{1-u^2+\sqrt{1-u^2}}du[/tex3]
Obs. Não vou perder tempo em resolver essa integral, até porque você tem que está familiarizado com as resoluções de integrais, além do mais a resolução irá ficar muito longa, porém vou lhe dar uma dica para resolver a integral da direita, use a substituição trigonométrica u = sen t. Vamos então continuar com a solução.
ln x = - ln [ √( 1 - u² ) + 1 ] + c
[tex3]ln \ x =ln \ (\sqrt{1-u^2}+1)^{-1}+c[/tex3]
[tex3]ln \ x=ln \ \left(\frac{1}{\sqrt{1-u^2}+1}\right)+c[/tex3]
Ao voltarmos para u = y/x , resulta que;
[tex3]ln \ x=ln \ \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2-y^2}+x}{x}}\right)+c[/tex3]
[tex3]x =\frac{xe^c}{\sqrt{x^2-y^2}+x}[/tex3]
Ou seja;
C = x + √( x² - y² ) → Esse resultado foi usando a equação homogênea yy' = x + √( x² - y² ) , porém , ficará como exercício para você resolver a outra equação homogênea yy' = x - √( x² - y² ). Usando o mesmo procedimento acima, encontramos: C = x - √( x² - y² ) , logo , temos as seguintes integrais gerais C = x + √( x² - y² ) , C = x - √( x² - y² ) ou ( C - x ) - √( x² - y² ) = 0 , ( C - x ) + √( x² - y² ) = 0. Multiplicando-as entre si, obtemos a integral geral da equação dada.
( C - x )² - ( x² - y² ) = 0
C² - 2Cx + x² - x² + y² = 0
y² + C = 2Cx
Vamos determinar agora uma solução singular para a EDO dada, temos:
y = x → Quadrando ambos os membros, vem;
y² = x²
x² - y² = 0
Portanto, uma solução singular para EDO dada é x² - y² = 0.
Nota 1:
Para se ter a certeza de que x² - y² = 0 é uma solução singular da EDO dada, basta procedermos da seguinte maneira:
x² - y² = 0
y = x
y' = 1 → substituindo esse valor na EDO dada, fica;
y.1² - 2x.1 + y = 2y - 2x = 2x - 2x = 0
Nota 2:
Não sei se é via de regra, mas você percebeu que o ∆ = 4x² - 4y² , então se fizermos ∆ = 0, encontraremos a solução singular x² - y² = 0 da equação dada ,talvez tenha alguma relação, porém não tenho a absoluta certeza!
Solução singular ( Definição )
É uma solução da EDO que não pode ser obtida por combinação das constantes arbitrárias, isto é , a partir da primitiva desta.
Ex: 2y'' + xy' - y = 0
Perceba que y = - x²/8 é uma solução singular, pois y' = - x/4 e y'' = - 1/4 ao substituir esses valores na equação desse exemplo ela se anulará! Logo, x² + 8y = 0 é uma solução singular dessa EDO.
Uuuuuufa! Bons estudos!!