Ensino SuperiorCálculo diferencial Tópico resolvido

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NerdGangster
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Cálculo diferencial

Mensagem não lida por NerdGangster »

Resolva a equação [tex3]y(y')^2-2xy'+y=0[/tex3]
Resposta

[tex3]y^2+C=2Cx[/tex3] uma solução Geral e [tex3]x^2-y^2=0[/tex3] uma solução singular(particular)
Fonte: B.Demidovitch, exercício 2815




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Cardoso1979
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Re: Cálculo diferencial

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Euuuuuuuuureca!!!!!!!!!!!!




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Cardoso1979
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Re: Cálculo diferencial

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Somente agora encontrei um tempo...

Uma solução:

y.y'² - 2xy' + y = 0

Olhe para essa equação diferencial como uma equação do 2° grau, temos que:

∆ = ( - 2x )² - 4.y.y

∆ = 4x² - 4y² 🤔 ( está parecendo com algo relacionado a uma das respostas )

Então;

y.y' = x ± √( x² - y² ) ( temos duas equações homogêneas , suponho que o seu professor já tenha explicado isso, por isso , não vamos perder tempo com a explicação do porquê dessas EDO serem homogêneas , além disso , trata-se também de uma EDO de primeira ordem não linear ).

Como as duas equações são homogêneas, podemos utilizar o seguinte artifício [tex3]\frac{y}{x}=u[/tex3] → y = xu e dy = xdu + udx , com o objetivo de transformar essas duas equações numa EDO de variáveis separáveis.😉 Fica;

[tex3]y\frac{dy}{dx}=x+\sqrt{x^2-y^2}[/tex3]

[tex3](x+\sqrt{x^2-y^2})dx-ydy=0[/tex3]

Substituindo àqueles artifícios que eu expliquei acima em [tex3](x+\sqrt{x^2-y^2})dx-ydy=0[/tex3] , vem;

[tex3][x+\sqrt{x^2-(xu)^2}]dx-xu(xdu+udx)=0[/tex3]

[tex3][x+\sqrt{x^2(1-u^2)}]dx-x^2udu-u^2xdx=0[/tex3]

[tex3]\therefore [/tex3]

[ 1 + √( 1 - u² ) - u² ].xdx = x²udu

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx=\int\limits_{}^{}\frac{u}{1-u^2+\sqrt{1-u^2}}du[/tex3]

Obs. Não vou perder tempo em resolver essa integral, até porque você tem que está familiarizado com as resoluções de integrais, além do mais a resolução irá ficar muito longa, porém vou lhe dar uma dica para resolver a integral da direita, use a substituição trigonométrica u = sen t. Vamos então continuar com a solução.

ln x = - ln [ √( 1 - u² ) + 1 ] + c

[tex3]ln \ x =ln \ (\sqrt{1-u^2}+1)^{-1}+c[/tex3]

[tex3]ln \ x=ln \ \left(\frac{1}{\sqrt{1-u^2}+1}\right)+c[/tex3]

Ao voltarmos para u = y/x , resulta que;

[tex3]ln \ x=ln \ \left(\frac{1}{\frac{\sqrt{x^2-y^2}+x}{x}}\right)+c[/tex3]

[tex3]x =\frac{xe^c}{\sqrt{x^2-y^2}+x}[/tex3]

Ou seja;

C = x + √( x² - y² ) → Esse resultado foi usando a equação homogênea yy' = x + √( x² - y² ) , porém , ficará como exercício para você resolver a outra equação homogênea yy' = x - √( x² - y² ). Usando o mesmo procedimento acima, encontramos: C = x - √( x² - y² ) , logo , temos as seguintes integrais gerais C = x + √( x² - y² ) , C = x - √( x² - y² ) ou ( C - x ) - √( x² - y² ) = 0 , ( C - x ) + √( x² - y² ) = 0. Multiplicando-as entre si, obtemos a integral geral da equação dada.

( C - x )² - ( x² - y² ) = 0

C² - 2Cx + x² - x² + y² = 0

y² + C = 2Cx 😃


Vamos determinar agora uma solução singular para a EDO dada, temos:

y = x → Quadrando ambos os membros, vem;

y² = x²

x² - y² = 0 😎

Portanto, uma solução singular para EDO dada é x² - y² = 0.


Nota 1:

Para se ter a certeza de que x² - y² = 0 é uma solução singular da EDO dada, basta procedermos da seguinte maneira:

x² - y² = 0

y = x

y' = 1 → substituindo esse valor na EDO dada, fica;

y.1² - 2x.1 + y = 2y - 2x = 2x - 2x = 0 👍


Nota 2:

Não sei se é via de regra, mas você percebeu que o ∆ = 4x² - 4y² , então se fizermos ∆ = 0, encontraremos a solução singular x² - y² = 0 da equação dada ,talvez tenha alguma relação, porém não tenho a absoluta certeza!


Solução singular ( Definição )

É uma solução da EDO que não pode ser obtida por combinação das constantes arbitrárias, isto é , a partir da primitiva desta.

Ex: 2y'' + xy' - y = 0

Perceba que y = - x²/8 é uma solução singular, pois y' = - x/4 e y'' = - 1/4 ao substituir esses valores na equação desse exemplo ela se anulará! Logo, x² + 8y = 0 é uma solução singular dessa EDO.


Uuuuuufa! Bons estudos!!



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NerdGangster
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Re: Cálculo diferencial

Mensagem não lida por NerdGangster »

Muito boa a resolução, Thanks !! Como seria se você estivesse num teste, como ia encarar a questão no momento e perceber que a resolução está ocupando todo enunciado? kkk :mrgreen:

Ahm, eu pensei em resolver de um outro jeito, que também é complexo(bem longo), que é fazer a substituição [tex3]\boxed{y'=p}[/tex3] , e achar [tex3]y=\frac{2xp}{p^{2}+1}[/tex3] , derivar em relação á "x", e ter [tex3]y'_{x}=\frac{2p}{p^{2}+1}+p'_{x}*(\frac{2x}{p^{2}+1}-{4x}{(\frac{p}{p^{2}+1})^{2}})[/tex3] , onde teria uma E.D.O no final NÃO EXACTA, e daí resolveria com factor integrante, acharia ele, que será [tex3]M=\sqrt{p^{2}+1}[/tex3] multiplicaria a expressao( de modo a ser exacta) e resolveria a E.D.O. Bom, teria uma resolução longa também, e isso dar-me-ía a solução Geral, a solução singular simplesmente é condição necessária e suficiente que tenha uma solução única, logo basta reparar a E.D.O e notar que tem uma estrutura algébrica quadrática e achar o Delta, igualando-o a zero ! É mais simples, kkkk.
Última edição: NerdGangster (Dom 20 Jan, 2019 21:28). Total de 1 vez.



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Cardoso1979
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Re: Cálculo diferencial

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

NerdGangster escreveu:
Dom 20 Jan, 2019 21:26
Muito boa a resolução, Thanks !! Como seria se você estivesse num teste, como ia encarar a questão no momento e perceber que a resolução está ocupando todo enunciado? kkk :mrgreen:

Ahm, eu pensei em resolver de um outro jeito, que também é complexo(bem longo), que é fazer a substituição [tex3]\boxed{y'=p}[/tex3] , e achar [tex3]y=\frac{2xp}{p^{2}+1}[/tex3] , derivar em relação á "x", e ter [tex3]y'_{x}=\frac{2p}{p^{2}+1}+p'_{x}*(\frac{2x}{p^{2}+1}-{4x}{(\frac{p}{p^{2}+1})^{2}})[/tex3] , onde teria uma E.D.O no final NÃO EXACTA, e daí resolveria com factor integrante, acharia ele, que será [tex3]M=\sqrt{p^{2}+1}[/tex3] multiplicaria a expressao( de modo a ser exacta) e resolveria a E.D.O. Bom, teria uma resolução longa também, e isso dar-me-ía a solução Geral, a solução singular simplesmente é condição necessária e suficiente que tenha uma solução única, logo basta reparar a E.D.O e notar que tem uma estrutura algébrica quadrática e achar o Delta, igualando-o a zero ! É mais simples, kkkk.
😃👍




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