Ensino SuperiorE.D.O Tópico resolvido

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NerdGangster
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Jan 2019 15 07:33

E.D.O

Mensagem não lida por NerdGangster »

Resolver a equação: [tex3]y=2y'x+\frac{1}{y}[/tex3]
Resposta

[tex3]X=1/p^2(lnp+C);Y=2px+1/p[/tex3]
Fonte: B.Demidovich - Livro




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Cardoso1979
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Jan 2019 15 16:22

Re: E.D.O

Mensagem não lida por Cardoso1979 »

Observe

Corrigindo a E.D.O:

[tex3]y=2y'x+\frac{1}{y'}[/tex3]


Uma solução:

Fazendo y' = p , então;

y = 2px + [tex3]\frac{1}{p}[/tex3] , logo ;

Y = 2px + [tex3]\frac{1}{p}[/tex3]


Por outro lado;

y' = 2p + 2xp' - [tex3]\frac{p'}{p^2}[/tex3]

Mas y' = p, temos que;

p = 2p + 2xp' - [tex3]\frac{p'}{p^2}[/tex3]

- p = p'.( 2x - [tex3]\frac{1}{p^2}[/tex3] )

1 = p'.[tex3](-\frac{2x}{p}+\frac{1}{p^3}[/tex3] )

[tex3]1=\frac{dp}{dx}(-\frac{2x}{p}+\frac{1}{p^3})[/tex3]

[tex3]dx=dp(-\frac{2x}{p}+\frac{1}{p^3})[/tex3]

[tex3]\frac{dx}{dp}=-\frac{2x}{p}+\frac{1}{p^3}[/tex3]

[tex3]\frac{dx}{dp}+\frac{2x}{p}=\frac{1}{p^3}[/tex3]

Ainda;

[tex3]\mu(p)=e^{\int\limits_{}^{}\frac{2}{p}
dp}=e^{2ln \ p }=e^{ln \ p^2}=p^2 [/tex3]

Assim;

[tex3]x=\frac{1}{\mu(p)}\int\limits_{}^{}\mu (p).g(p) \ dp[/tex3]

[tex3]x=\frac{1}{p^2}\int\limits_{}^{}p^2.\frac{1}{p^3} \ dp[/tex3]

[tex3]x=\frac{1}{p^2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{p} \ dp[/tex3]

[tex3]x = \frac{1}{p^2}.[ln (p) + C ] [/tex3]

Portanto,

[tex3]X = \frac{1}{p^2}.[ln (p) + C ] [/tex3]



Bons estudos!




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