Teoria dos conjuntos
Enviado: Qui 10 Jan, 2019 16:42
Demonstre que [tex3]A - (B \cap C) = (A - B)\cup(A - C)[/tex3]
.
Para todos os conjuntos A , B , C.
Demonstração : ⊆
Se A - ( B ∩ C ) = ∅ então o resultado é válido pelas propriedades de ∅ , suponha então que A - ( B ∩ C ) ≠ ∅ e seja x ∈ A - ( B ∩ C ). O x ∈ A e x [tex3]\notin [/tex3] B ∩ C implica que x ∈ A e ( x [tex3]\notin [/tex3] B ou x [tex3]\notin [/tex3] C ). Isso nos leva a dois casos:
Primeiro caso : x [tex3]\notin [/tex3] B
Se x [tex3]\notin [/tex3] B, então x ∈ A - B significa x ∈ ( A - B ) ∪ ( A - C ) .
Segundo caso : x [tex3]\notin [/tex3] C
Se x [tex3]\notin [/tex3] C, então x ∈ A - C significa x ∈ ( A - B ) ∪ ( A - C ) .
Ambos os casos levam a seguinte conclusão, a saber , x ∈ ( A - B ) ∪ ( A - C ) .
Consequentemente ,
A - ( B ∩ C ) ⊆ ( A - B ) ∪ ( A - C ). c.q.d.
Nota
Ficará como exercício para você provar "⊇" e chegar a seguinte conclusão ( A - B ) ∪ ( A - C ) ⊆ A - ( B ∩ C ) .
Bons estudos!