Ensino SuperiorTeoria dos conjuntos Tópico resolvido

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menelaus
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Teoria dos conjuntos

Mensagem não lida por menelaus » Qui 10 Jan, 2019 16:42

Demonstre que [tex3]A - (B \cap C) = (A - B)\cup(A - C)[/tex3] .




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Cardoso1979
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Jan 2019 11 19:09

Re: Teoria dos conjuntos

Mensagem não lida por Cardoso1979 » Sex 11 Jan, 2019 19:09

Observe

Para todos os conjuntos A , B , C.

Demonstração : ⊆

Se A - ( B ∩ C ) = ∅ então o resultado é válido pelas propriedades de ∅ , suponha então que A - ( B ∩ C ) ≠ ∅ e seja x ∈ A - ( B ∩ C ). O x ∈ A e x [tex3]\notin [/tex3] B ∩ C implica que x ∈ A e ( x [tex3]\notin [/tex3] B ou x [tex3]\notin [/tex3] C ). Isso nos leva a dois casos:

Primeiro caso : x [tex3]\notin [/tex3] B
Se x [tex3]\notin [/tex3] B, então x ∈ A - B significa x ∈ ( A - B ) ∪ ( A - C ) .

Segundo caso : x [tex3]\notin [/tex3] C
Se x [tex3]\notin [/tex3] C, então x ∈ A - C significa x ∈ ( A - B ) ∪ ( A - C ) .

Ambos os casos levam a seguinte conclusão, a saber , x ∈ ( A - B ) ∪ ( A - C ) .

Consequentemente ,

A - ( B ∩ C ) ⊆ ( A - B ) ∪ ( A - C ). c.q.d.😀


Nota

Ficará como exercício para você provar "⊇" e chegar a seguinte conclusão ( A - B ) ∪ ( A - C ) ⊆ A - ( B ∩ C ) .😉👍


Bons estudos!




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