Ensino Superior ⇒ Integral de linha Tópico resolvido

[brunoz1993]

A figura abaixo apresenta uma curva C dada por um arco de hélice. O caminho é definido por [tex3]C: x = cos(t) , y = sen(t)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]C: x = cos(t) , y = sen(t)[/tex3]

e [tex3]z = t[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]z = t[/tex3]

com [tex3]0 \leq t \leq 4\pi [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]0 \leq t \leq 4\pi [/tex3]

. Suponha que uma mosca saia do ponto A e voe sob o caminho C até chegar ao ponto B. Determine a distância total percorrida pela mosca, ou seja, o comprimento do percurso C dado por [tex3]\oint_ C(x,y,z)\cdot ds[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\oint_ C(x,y,z)\cdot ds[/tex3]

tal que [tex3]f(x,y,z)=1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(x,y,z)=1[/tex3]

.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

O elemento de comprimento do arco é dado por:

[tex3]ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2+\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}dt[/tex3]

Logo;

[tex3]ds= \sqrt{sen^2(t)+cos^2(t)+1}dt[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]ds= \sqrt{sen^2(t)+cos^2(t)+1}dt[/tex3]

ds = √2 dt

Assim;

[tex3]\int\limits_{C}^{}f(x,y,z).ds=\int\limits_{0}^{4π}1.\sqrt{2} \ dt= \sqrt{2}.[t]_{0}^{4π}=4π\sqrt{2}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{C}^{}f(x,y,z).ds=\int\limits_{0}^{4π}1.\sqrt{2} \ dt= \sqrt{2}.[t]_{0}^{4π}=4π\sqrt{2}[/tex3]

Bons estudos!