Ensino Superior ⇒ Limite Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Calcule o [tex3]\lim_{n \rightarrow +\infty}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n \rightarrow +\infty}[/tex3]

{1 + 1/2+ 1/3+ ... + 1/n }

Resposta

---

+ infinito

[erihh3]

Essa série chamasse série harmônica. Ela é uma série divergente conhecida. Saber que essa série é convergente ajudará bastante em outras questões de séries.

Vamos então demonstrar que ela é divergente para que possamos afirmar que a soma nao é finita.

Vou usar o teste da integral pra isso.

Reescrevendo como série:

[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex3]

Já que o termo geral [tex3]\frac{1}{n}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{n}[/tex3]

é positivo e decrescente, poderemos usar o teste da integral. Portanto, se [tex3]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}[/tex3]

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[tex3]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}[/tex3]

for divergente, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex3]

também será.

[tex3]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}[/tex3]

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[tex3]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}=\lim_{b\to\infty}\int_{1}^{b}\frac{1}{x}[/tex3]

[tex3]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}=\lim_{b\to\infty}\(\ln b - \ln1\)=\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty[/tex3]

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[tex3]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}=\lim_{b\to\infty}\(\ln b - \ln1\)=\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty[/tex3]

Daí, vemos que [tex3]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}[/tex3]

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[tex3]\int_{1}^{\infty}\frac{1}{x}[/tex3]

é divergente.

Portanto, [tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex3]

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[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}[/tex3]

também é e

[tex3]\lim_{n \rightarrow +\infty}{}1+1/2+1/3\cdot\cdot+1/n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\lim_{n \rightarrow +\infty}{}1+1/2+1/3\cdot\cdot+1/n=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}=\infty[/tex3]