Ensino Superior ⇒ Como encontrar o ângulo

[bcoafla0407]

Bom dia! Quero resolver o seguinte exercício:
Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide [z=x^2+y^2], acima do plano xy e dentro do cilindro [x^2+y^2=-2y].
Não consigo encontrar o ângulo, uso coordenadas polares encontro que [r=2sen(\theta)] mas e a variação do ângulo? Eu escolhi theta para o qual r=0 ou seja 0 e 2[\pi]. Está certo se sim porque?

Flávio Santana.

[Cardoso1979]

Observe

Solução:

O seu problema está somente em encontrar o ângulo, vamos lá!

O cilindro x² + y² = - 2y se transforma em x² + ( y + 1 )² = 1 , portanto , centrado em ( 0 , - 1 , 0 ) está localizado no 3° e 4° octante. Fazendo a intersecção com o parabolóide dado e o plano xy, vemos que o sólido formado se dá no 3° e 4° octante e consequentemente a sua projeção no plano xy também, logo , o ângulo teta varia de 0 a π.




Bons estudos!

[bcoafla0407]

Boa tarde! Os passos que você fez eu também fiz completei quadrado e obtive o cilindro centrado em (0,-1,0). Quando estamos no plano xy temos uma circunferência deslocada no terceiro e quarto quadrante centrada em (0, -1). Até aqui eu fui. Mas cara como sei que o angulo varia de 0 a \pi. Não consigo entender isso.

[Cardoso1979]

Boa tarde! Os passos que você fez eu também fiz completei quadrado e obtive o cilindro centrado em (0,-1,0). Quando estamos no plano xy temos uma circunferência deslocada no terceiro e quarto quadrante centrada em (0, -1). Até aqui eu fui. Mas cara como sei que o angulo varia de 0 a \pi. Não consigo entender isso.

Olá!

Ora, como a circunferência ( projeção do sólido ) está no 3° e 4° Q , logo o ângulo será de 180° ( π ), somente seria 360° ( 2π )se a circunferência estivesse centrada em ( 0 , 0 ), caso a projeção do sólido no plano xy ( circunferência ) estivesse somente em um dos quadrantes o ângulo seria de 90°( π/2 ).

Abraços!

[bcoafla0407]

Vamos ver se eu entendi. Vamos usar o mesmo exemplo modificado. Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z=x^2+y^2, acima do plano xy e dentro do cilindro x^2+y^2=2x. Novamente temos um paraboloide. Completando quadrados teremos:
(x-1)^2+y^2=1. No plano xy temos uma circunferência centrada em (0,1) e ela está no primeiro e quarto quadrante. A variação do ângulo teta seria qual? Não consigo entender que o ângulo varia de -pi/2 a pi/2. Peço desculpa pelo incomodo mas não consigo entender.

[Cardoso1979]

Vamos ver se eu entendi. Vamos usar o mesmo exemplo modificado. Determine o volume do sólido que está sob o paraboloide z=x^2+y^2, acima do plano xy e dentro do cilindro x^2+y^2=2x. Novamente temos um paraboloide. Completando quadrados teremos:
(x-1)^2+y^2=1. No plano xy temos uma circunferência centrada em (0,1) e ela está no primeiro e quarto quadrante. A variação do ângulo teta seria qual? Não consigo entender que o ângulo varia de -pi/2 a pi/2. Peço desculpa pelo incomodo mas não consigo entender.

Apesar de o ângulo ser 180°, neste caso aí( 1° e 4° Q ) o ângulo teta varia de - π/2 a π/2, note que de π/2 até - π/2 a abertura do ângulo corresponde a π. Há casos em que o resultado é zero ( 0 ) ou negativo, por isso , se usa essa variação.

[bcoafla0407]

Nossa estou desde ontem parado nessa dúvida cara e lhe digo que não entendi. Qual seria um livro que posso estudar para entender o que você está dizendo acima. Está nebuloso para mim, eu faço os procedimentos padrões, completar quadrados identifico a cônica no entanto o ângulo não sai.
Obrigado!

[Cardoso1979]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{-2sen \ \theta }\rho^3 d\rho d\theta = \frac{3π}{2}u.v.[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{π}\int\limits_{0}^{-2sen \ \theta }\rho^3 d\rho d\theta = \frac{3π}{2}u.v.[/tex3]