Ensino Superior

Determine os valores de máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D

1.f(x,y)=x²+y²+yx²+4, D={(x,y)/|x|≤1, |y|≤1}

2.f(x,y)=2x³+y⁴, D={(x,y)/x²+y²≤1}

1) [tex3]f(x,y)=x^2+y^2+yx^2+4, ~~~~D=\left\{(x,y)/ ~~|x|≤1,~~ |y|≤1\right\}[/tex3]

Para encontrar máximos e mínimos, precisamos encontrar os pontos críticos das derivadas e os pontos críticos das fronteiras.
Derivadas:
[tex3]{\partial f\over \partial x}=2x+2xy[/tex3]

[tex3]{\partial f\over \partial y}=2y+x^2[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
2x+2xy=0\\
2y+x^2=0
\end{cases}[/tex3]
Resolvendo o sistema, obtemos os pares [tex3](x,y)=\{(0,0),(\sqrt2,-1),(-\sqrt2,-1)\}[/tex3] . Porém, os dois últimos não estão no domínio. Assim, o único ponto que temos dessa análise é [tex3](0,0)[/tex3]

Fronteiras:

[tex3]|x|=1[/tex3]
[tex3]f(y)=(1)^2+y^2+y(1)^2+4[/tex3]
[tex3]f(y)=y^2+y+5[/tex3]
[tex3]f'(y)=2y+1[/tex3]
[tex3]0=2y+1[/tex3]
[tex3]y=-{1\over2}[/tex3]
[tex3][/tex3]
[tex3]y=1[/tex3]
[tex3]f(x)=x^2+(1)^2+1\cdot x^2+4[/tex3]
[tex3]f(x)=2x^2+5[/tex3]
[tex3]f'(x)=4x[/tex3]
[tex3]0=4x[/tex3]
[tex3]x=0[/tex3]
[tex3][/tex3]
[tex3]y=-1[/tex3]
[tex3]f(x)=x^2+(-1)^2+(-1)\cdot x^2+4[/tex3]
[tex3]f(x)=5[/tex3]
Portanto na reta [tex3]y=-1[/tex3], [tex3]f(x,y)[/tex3] é constante, portanto, qualquer ponto é máximo e mínimo.

Daqui tiramos os pontos [tex3](x,y)=\left\{\left(1,-{1\over2}\right),\left(-1,-{1\over2}\right),\left(0,1\right),\left(x,-1\right)\right\}[/tex3]

Além desses, vemos considerar também os extremos das fronteiras, que são [tex3](x,y)=\left\{\left(1,1\right),\left(-1,1\right),\left(-1,1\right),\left(-1,-1\right)\right\}[/tex3]. Podemos desconsiderar o último dado que já incluímos ele no conjunto de antes.

Pra acharmos agora quem é máximo absoluto e quem é mínimo, basta substituir os pontos encontrados na função e verificar qual resulta no maior e menor valor:
[tex3]f( 0 ,0 )=4[/tex3]

[tex3]f( x ,-1 )=5[/tex3]

[tex3]f\left(1,-{1\over2}\right)=4.75[/tex3]

[tex3]f\left(-1,-{1\over2}\right)=4.75[/tex3]

[tex3]f( 1 ,1 )=7[/tex3]

[tex3]f( -1 ,1 )=7[/tex3]

[tex3]f( 0 ,1 )=5[/tex3]

Assim, [tex3](1,1)[/tex3] e [tex3](-1,1)[/tex3] são máximos absolutos e [tex3](0,0)[/tex3] é mínimo absoluto.

2) [tex3]f(x,y)=2x^3+y^4, ~~~~D=\{(x,y)/~~x^2+y^2≤1\}[/tex3]

Análogo ao anterior:
Derivadas:
[tex3]{\partial f\over \partial x}=6x^2[/tex3]

[tex3]{\partial f\over \partial y}=4y^3[/tex3]

[tex3]\begin{cases}
6x^2=0\\
4y^3=0
\end{cases}[/tex3]
[tex3](x,y)=\{(0,0)\}[/tex3]

Fronteiras:
[tex3]x^2+y^2=1[/tex3]
[tex3]y^2=1-x^2[/tex3]
[tex3]y^4=(1-x^2)^2,~~~~|x|\leq1[/tex3]

[tex3]f(x)=2x^3+(1-x^2)^2[/tex3]
[tex3]f'(x)=6x^2+2(1-x^2)(-2x)[/tex3]
[tex3]0=6x^2+2(1-x^2)(-2x)[/tex3]
[tex3]0=2x(3x-2(1-x^2))[/tex3]
[tex3]x=0\implies y=\pm1[/tex3] ou [tex3]0=3x-2(1-x^2)[/tex3]
[tex3]0=3x-2+2x^2[/tex3]
[tex3]x=\frac{-3\pm5}{4}[/tex3]
[tex3]x=-2 [/tex3] ou [tex3]x=\frac{1}{2}[/tex3]
[tex3]y^2=1-x^2[/tex3]
[tex3]y^2=1-\left({2}{}\right)^2[/tex3]
[tex3]y^2=-3[/tex3] (não serve)

[tex3]y^2=1-x^2[/tex3]
[tex3]y^2=1-\left(1\over{2}{}\right)^2[/tex3]
[tex3]y=\pm{\sqrt3\over2}[/tex3]

Também devemos considerar os extremos de [tex3]|x|\leq1[/tex3], o que resulta nos pontos [tex3]\{(1,0),(-1,0)\}[/tex3].

Juntando todos os pontos:
[tex3](x,y)=\left\{(1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1),\left({1\over2},\frac{\sqrt3}{2}\right),\left({1\over2},-\frac{\sqrt3}{2}\right)\right\}[/tex3]

Substituindo os pontos encontrados na função:
[tex3]f( 0 ,0 )=0[/tex3]

[tex3]f( 1 ,0 )=2[/tex3]

[tex3]f\left(-1,0\right)=-2[/tex3]

[tex3]f\left(0,1\right)=1[/tex3]

[tex3]f\left(0,-1\right)=1[/tex3]

[tex3]f\left({1\over2},-{\sqrt3\over2}\right)={13\over16}[/tex3]

[tex3]f\left({1\over2},{\sqrt3\over2}\right)={13\over16}[/tex3]

Assim, [tex3](1,0)[/tex3] é máximo absoluto e [tex3](-1,0)[/tex3] é mínimo absoluto.

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