Ensino Superior ⇒ Sistema Price de Amortização Tópico resolvido

[Adonai]

Um financiamento no valor de $2.000.000,00 é concedido para ser amortizado em 24 pagamentos mensais pela tabela Price. A taxa de juros é de 24%a.a. Com base nessas informações, determine o valor de cada prestação mensal e o saldo devedor ao final do 18° mês.

[baltuilhe]

Boa noite!

Dados:

• Valor do financiamento (PV): $ 2.000.000,00

• Prestações (PMT): 24 mensalidades

• Taxa de juros (i): 24% a.a. = 2% a.m.

• Prestação: ?

• Saldo devedor ao final do 18^o mês: ?

Para calcular a prestação podemos utilizar a seguinte fórmula:
[tex3]PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\\
2\,000\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-24}}{2\%}\right]\\
2\,000\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-24}}{0,02}\right)\\
PMT=\dfrac{2\,000\,000\cdot 0,02}{1-1,02^{-24}}\\
\boxed{PMT\approx 105\,742,19}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]PV=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-n}}{i}\right]\\
2\,000\,000=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-24}}{2\%}\right]\\
2\,000\,000=PMT\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-24}}{0,02}\right)\\
PMT=\dfrac{2\,000\,000\cdot 0,02}{1-1,02^{-24}}\\
\boxed{PMT\approx 105\,742,19}
[/tex3]

Há várias formas de se obter o saldo devedor:
1) Atualizando-se a quantidade de prestações não pagas:
Como temos um total de 24 prestações e queremos o saldo devedor ao final do 18^o mês temos ainda 24-18=6 prestações para pagar. Portanto, atualizando-se o valor de 6 prestações ainda não pagas:
[tex3]SD_{18}=105\,742,19\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-6}}{2\%}\right]\\
SD_{18}=105\,742,19\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-6}}{0,02}\right)\\
\boxed{SD_{18}\approx 592\,307,57}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]SD_{18}=105\,742,19\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+2\%\right)^{-6}}{2\%}\right]\\
SD_{18}=105\,742,19\cdot\left(\dfrac{1-1,02^{-6}}{0,02}\right)\\
\boxed{SD_{18}\approx 592\,307,57}
[/tex3]

2) Atualizando-se o saldo devedor juntamente com a quantidade de prestações pagas:
[tex3]SD_{18}\approx 2\,000\,000\cdot\left(1+2\%\right)^{18}-105\,742,19\cdot\left[\dfrac{\left(1+2\%\right)^{18}-1}{2\%}\right]\\
SD_{18}\approx 2\,000\,000\cdot 1,02^{18}-105\,742,19\cdot\left(\dfrac{1,02^{18}-1}{0,02}\right)\\
SD_{18}\approx 2\,856\,492,50-2\,264\,184,80\\
\boxed{SD_{18}\approx 592\,307,70}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]SD_{18}\approx 2\,000\,000\cdot\left(1+2\%\right)^{18}-105\,742,19\cdot\left[\dfrac{\left(1+2\%\right)^{18}-1}{2\%}\right]\\
SD_{18}\approx 2\,000\,000\cdot 1,02^{18}-105\,742,19\cdot\left(\dfrac{1,02^{18}-1}{0,02}\right)\\
SD_{18}\approx 2\,856\,492,50-2\,264\,184,80\\
\boxed{SD_{18}\approx 592\,307,70}
[/tex3]

3) Atualizando-se as amortizações do período inicial até o período 18, e subtraindo-se do saldo devedor.
Calculando a primeira amortização:
[tex3]A=\dfrac{PMT}{\left(1+i\right)^{n}}\approx \dfrac{105\,742,19}{1,02^{24}}\\A\approx 65\,742,19[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A=\dfrac{PMT}{\left(1+i\right)^{n}}\approx \dfrac{105\,742,19}{1,02^{24}}\\A\approx 65\,742,19[/tex3]

Agora só atualizar:
[tex3]SD_{18}\approx 2\,000\,000-65\,742,19\cdot\left[\dfrac{\left(1+2\%\right)^{18}-1}{2\%}\right]\\
SD_{18}\approx 2\,000\,000-65\,742,19\cdot\left(\dfrac{1,02^{18}-1}{0,02}\right)\\
SD_{18}\approx 2\,000\,000-1\,407\,692,31\\
\boxed{SD_{18}\approx 592\,307,69}
[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]SD_{18}\approx 2\,000\,000-65\,742,19\cdot\left[\dfrac{\left(1+2\%\right)^{18}-1}{2\%}\right]\\
SD_{18}\approx 2\,000\,000-65\,742,19\cdot\left(\dfrac{1,02^{18}-1}{0,02}\right)\\
SD_{18}\approx 2\,000\,000-1\,407\,692,31\\
\boxed{SD_{18}\approx 592\,307,69}
[/tex3]

Espero ter ajudado!