Ensino Superior ⇒ pre - calculo 2 Tópico resolvido

[Leleco075]

usando o conceito de mudança de variável na integral definida, qual das alternativas contém melhor aproximação para o valor da integral K dada por : [tex3]k=\int\limits_{0}^{1}\frac{2x}{1+x²}dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]k=\int\limits_{0}^{1}\frac{2x}{1+x²}dx[/tex3]

a) k= 3 In(2)
b) k= In (2)
c) k= 2
d) k= 7 In (2)
e) todas estão erradas

[FilipeDLQ]

Fazendo [tex3]u=1+x^2[/tex3]

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[tex3]u=1+x^2[/tex3]

temos também que [tex3]du=2x dx[/tex3]

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[tex3]du=2x dx[/tex3]

(que nada mais é que a derivada de [tex3]1+x^2[/tex3]

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[tex3]1+x^2[/tex3]

):

Aplicando a substituição no intervalo de integração [tex3][0,1][/tex3]

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[tex3][0,1][/tex3]

:

quando [tex3]x=0, u=1;[/tex3]

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[tex3]x=0, u=1;[/tex3]

quando [tex3]x=1; u=2.[/tex3]

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[tex3]x=1; u=2.[/tex3]

Feito isso podemos agora reescrever a integral [tex3]\int\limits_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^2}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{0}^{1}\frac{2x}{1+x^2}dx[/tex3]

como:

[tex3]\int\limits_{1}^{2}\frac{du}{u}=\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{u}du=[ln(u)]_{1}^{2}=[ln(2)-ln(1)]=ln(2)-0=ln(2)[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{1}^{2}\frac{du}{u}=\int\limits_{1}^{2}\frac{1}{u}du=[ln(u)]_{1}^{2}=[ln(2)-ln(1)]=ln(2)-0=ln(2)[/tex3]

;

Portanto a resposta é a alternativa [tex3]b)k=ln(2).[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b)k=ln(2).[/tex3]