Uma abordagem mais detalhada:
Algumas hipóteses simplificadoras para nos auxiliar na resolução do problema:
(1) Condutividade térmica constante;
(2) Regime estacionário [tex3]\left(\frac{\partial }{\partial t}=0\right)[/tex3]
;
(3) Fluxo unidimensional de calor - apenas na direção x - [tex3]\left(\frac{\partial T}{\partial y}=\frac{\partial T}{\partial z}=0\right)[/tex3]
;
(4) Não há geração interna de calor [tex3]\dot{q}=0[/tex3]
;
(5) Distribuição linear de temperatura.
Equações básicas que serão usadas ao longo da resolução:
- Equação da Difusão do Calor:
[tex3]\frac{\partial }{\partial x}\left(k\frac{\partial T}{\partial x}\right)+\frac{\partial }{\partial y}\left(k\frac{\partial T}{\partial y}\right)+\frac{\partial }{\partial z}\left(k\frac{\partial T}{\partial z}\right)+\dot{q}=\rho c\frac{\partial T}{\partial t}[/tex3]
- Lei de Fourier (ou Lei da Condução do Calor):
[tex3]\vec{q}=-kA\vec{\nabla T}[/tex3]
Das hipóteses a Equação da Difusão do Calor reduz-se a:
[tex3]k\nabla^2T=0[/tex3]
, mas [tex3]k\neq 0[/tex3]
, logo, [tex3]\nabla^2T=0[/tex3]
(caímos no problema de Laplace).
Como o nosso problema se desenvolve apenas na direção x, podemos explicitar o laplaciano da temperatura como:
[tex3]\nabla^2T=0\to \frac{\partial ^2T}{\partial x^2}=0[/tex3]
Ainda se aproveitando da ideia de que o fluxo de calor é unidimensional, podemos tratar a derivada parcial acima como sendo uma derivada ordinária, logo:
[tex3]\frac{d^2T}{dx^2}=0\to T(x)=c_1x+c_2[/tex3]
, com [tex3]\frac{\partial T}{\partial x}=\frac{dT}{dx}=c_1[/tex3]
Portanto, está provado que a distribuição de temperatura é regida por um perfil linear.
Para descobrirmos as constantes [tex3]c_1[/tex3]
e [tex3]c_2[/tex3]
basta nos aproveitarmos das seguintes condições de contorno:
[tex3]x=0\to T(x=0)=T_{int}\ \wedge\ x=e\to T(x=e)=T_{ext}[/tex3]
Portanto: [tex3]c_1=\frac{T_{ext}-T_{int}}{e}\ \wedge\ c_2=T_{int}\ \therefore\ T(x)=\underset{\frac{dT}{dx}}{\underbrace {\left(\frac{T_{ext}-T_{int}}{e}\right)}}x+T_{int}[/tex3]
A partir da Lei de Fourier (na direção x):
[tex3]q=-kA\frac{dT}{dx}\to q=\frac{kA}{e}(T_{int}-T_{ext})[/tex3]
Note que o taxa de calor ao longo da parede é constante.
Sendo assim a taxa de calor é dada por:
[tex3]q=\frac{1,7.0,5.1,2}{0,15}.(1400-1150)\to \boxed {q=1700\ W}[/tex3]
O fluxo de calor é dado por:
[tex3]q_{f}=\frac{q}{A}\to q_f=\frac{1700}{0,5.1,2}\to \boxed {q_f=2833,\bar{3}\ \frac{W}{m^2}}[/tex3]
Nota: penso que a questão cometeu uma ligeira confusão entre os termos fluxo e taxa. A propósito a unidade fornecida pelo gabarito não está correta. O correto ali é [tex3]W[/tex3]
e não [tex3]\frac{W}{m^2}[/tex3]
.