Ensino Superior

Sabemos que a bissetriz é o lugar geométrico de todos os pontos que equidistam dos dois lados do angulo. Quero provar que se um ponto P não pertence a bissetriz, ele não equidista dos 2 lados do angulo. Sugestão: desigualdade triangular

muito simples: suponha que [tex3]P[/tex3] não esteja na bissetriz do ângulo.

Trace as perpendiculares aos lados do ângulo e deixe [tex3]B[/tex3] e [tex3]C[/tex3] serem os pés dessas perpendiculares em seus respectivos lados.
Deixe [tex3]O[/tex3] ser o vértice do ângulo.

Se P equidista dos lados: então triângulos [tex3]POB[/tex3] e [tex3]POC[/tex3] são iguais (congruentes): pois âmbos tem um ângulo de 90 graus, compartilham a hipotenusa [tex3]PO[/tex3] e os catetos [tex3]PB[/tex3] e [tex3]PC[/tex3] têm o mesmo tamanho (a rigor esse critério é de lado -lado válido apenas para triângulos retângulos). Sendo os triângulos iguais [tex3]\angle POC = \angle POB = \frac{\angle BOC}2[/tex3] e então [tex3]P[/tex3] está na bissetriz do ângulo.

Isso que você escreveu prova que P pertence a bissetriz, mas estou tentando provar que se P não pertence a bissetriz, então ele não equidista dos lados do angulo. Estou quebrando a cabeça nisso, penso que sai pela desigualdade triangular, mas não estou conseguindo coerência nos argumentos.

Eu supus que P não pertence à bissetriz e que ele equidista dos lados.

Cheguei à conclusão de que P pertence à bissetriz

Absurdo

Portanto para o ponto equidistar ele deve estar na bissetriz (assumindo que você já sabe que os pontos da bissetriz já equidistam dos lados)

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