Ensino Superior

brun0tf

peço ajuda com a resolução desse exercício aqui.

No paralelepípedo ABCDEFGH representado na figura 12-3, a área da base ABCDE é [tex3]6\sqrt{3}[/tex3] e a aresta GC tem comprimento 4. O ângulo CGP mede 30º (GP é perpendicular ao plano ABC) e o ponto M é tal que [tex3]3\vec{AM}=2\vec{AB}[/tex3] . Calcule [tex3][\vec{AM}, \vec{AD}, \vec{GC}][/tex3] , sabendo que [tex3]\mathbb{V}^3[/tex3] está orientado por uma base sinistra.

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Resposta

Resposta = 24.

Observe

Solução:

Sabemos que :

[tex3][\vec{AM},\vec{AD},\vec{GC}]=||\vec{AM}\wedge \vec{AD}||.||\vec{GC}||.cos (\theta )[/tex3]

Onde [tex3]\theta [/tex3] é o ângulo que [tex3]\vec{GC}[/tex3] forma com
[tex3]\vec{AM}\wedge \vec{AD}[/tex3] .

Mas, sabemos que [tex3]\vec{AM}=\frac{2}{3}.\vec{AB}[/tex3] , então:

[tex3][\vec{AM},\vec{AD},\vec{GC}]=||\frac{2}{3}.\vec{AB}\wedge \vec{AD}||.||\vec{GC}||.cos (\theta )[/tex3]

[tex3][\vec{AM},\vec{AD},\vec{GC}]=\frac{2}{3}.||\vec{AB}\wedge \vec{AD}||.||\vec{GC}||.cos (\theta )[/tex3]

Como [tex3]\vec{AM}[/tex3] , [tex3]\vec{AD}[/tex3] são vetores diretores do plano da base , o produto vetorial deles é um vetor normal do plano , então é paralelo a PG. Logo, o ângulo [tex3]\theta [/tex3] que queremos é o ângulo
[tex3]C \hat {G}P=30°[/tex3] , daí ;

[tex3][\vec{AM},\vec{AD},\vec{GC}]=\frac{2}{3}.||\vec{AB}\wedge \vec{AD}||.||\vec{GC}||.cos (30° )[/tex3] .

Lembrando que [tex3]||\vec{AB}\wedge \vec{AD}||[/tex3] é a área do paralelogramo da base , ou seja , 6√3 e [tex3]||\vec{GC}||[/tex3] , de acordo com o enunciado, vale 4:

Assim,

[tex3][\vec{AM},\vec{AD},\vec{GC}]=\frac{2}{3}.6\sqrt{3}.4.cos (30° )[/tex3]

[tex3][\vec{AM},\vec{AD},\vec{GC}]=16\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex3]

[tex3][\vec{AM},\vec{AD},\vec{GC}]=8.3[/tex3]

Portanto,

[tex3][\vec{AM},\vec{AD},\vec{GC}]=24[/tex3] .

Nota

Dê uma lida sobre a regra da mão direita e a regra da mão esquerda.

Bons estudos!

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