Preciso entender o desenvolvimento desta questão.
Determine a taxa e variação de f (x,y,z) = xz/ (x2+y2 + 1) no ponto (1,0, -1) na direção do vetor u = r ' (t) onde r(t) = (t, 1 + 2t, -1 + t).
Gabarito: raiz 6/2
Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero
)
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Taxa e Variação de uma função. Tópico resolvido
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Out 2018
19
01:09
Re: Taxa e Variação de uma função.
Observe
Uma solução:
O primeiro passo será normalizar o vetor u = r'( t ) , temos
r'( t ) = ( 1 , 2 , 1 ) , ou seja , [tex3]\vec{u}=(1,2,1)[/tex3] , vem;
[tex3]\vec{u}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}[/tex3] = √6
A norma do vetor u é √6. Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para encontrar o seu versor ou vetor unitário.
[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 1/√6 , 2/√6 , 1/√6 )
Daí;
[tex3]v_{1}[/tex3] = 1/√6
[tex3]v_{2}[/tex3] = 2/√6
[tex3]v_{3}[/tex3] = 1/√6
Devemos encontrar as derivadas parciais da função f.
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]f_{x}=\frac{(xz)'.(x^2+y^2+1)-(xz)(x^2+y^2+1)'}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Obs. Apliquei a regra da derivada do quociente em relação a "x".
Desenvolvendo, resulta;
[tex3]f_{x}=\frac{z(-x^2+y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Para fy segue o mesmo processo , só com uma diferença que será em relação a "y", resultando em;
[tex3]f_{y}=-\frac{2xyz}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Calculando fz , observando que x/( x² + y² + 1 ) é uma constante, fica;
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}.z'[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}[/tex3]
Agora, iremos achar o valor de cada derivada parcial aplicada ao ponto P( 1 , 0 , - 1 ):
[tex3]f_{x}=\frac{-1.(-1^2+0^2+1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{y}=-\frac{2.1.0.(-1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{1}{1^2+0^2+1}=\frac{1}{2}[/tex3]
Então;
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2.6}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Portanto, [tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Bons estudos!
Uma solução:
O primeiro passo será normalizar o vetor u = r'( t ) , temos
r'( t ) = ( 1 , 2 , 1 ) , ou seja , [tex3]\vec{u}=(1,2,1)[/tex3] , vem;
[tex3]\vec{u}=\sqrt{1^2+2^2+1^2}[/tex3] = √6
A norma do vetor u é √6. Vamos dividir cada componente do vetor pela sua norma para encontrar o seu versor ou vetor unitário.
[tex3]\vec{v}[/tex3] = ( 1/√6 , 2/√6 , 1/√6 )
Daí;
[tex3]v_{1}[/tex3] = 1/√6
[tex3]v_{2}[/tex3] = 2/√6
[tex3]v_{3}[/tex3] = 1/√6
Devemos encontrar as derivadas parciais da função f.
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]f_{x}=\frac{(xz)'.(x^2+y^2+1)-(xz)(x^2+y^2+1)'}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Obs. Apliquei a regra da derivada do quociente em relação a "x".
Desenvolvendo, resulta;
[tex3]f_{x}=\frac{z(-x^2+y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Para fy segue o mesmo processo , só com uma diferença que será em relação a "y", resultando em;
[tex3]f_{y}=-\frac{2xyz}{(x^2+y^2+1)^2}[/tex3]
Calculando fz , observando que x/( x² + y² + 1 ) é uma constante, fica;
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}.z'[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{x}{x^2+y^2+1}[/tex3]
Agora, iremos achar o valor de cada derivada parcial aplicada ao ponto P( 1 , 0 , - 1 ):
[tex3]f_{x}=\frac{-1.(-1^2+0^2+1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{y}=-\frac{2.1.0.(-1)}{(1^2+0^2+1)^2}=0[/tex3]
[tex3]f_{z}=\frac{1}{1^2+0^2+1}=\frac{1}{2}[/tex3]
Então;
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= f_{x}(x,y,z).v_{1}+f_{y}(x,y,z).v_{2} + f_{z}(x,y,z).v_{3}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)= 0.\frac{1}{\sqrt{6}}+ 0.\frac{2}{\sqrt{6}}+ \frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{6}}[/tex3]
[tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{2.6}=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
Portanto, [tex3]D_{\vec{v}}f(x,y,z)=\frac{\sqrt{6}}{12}[/tex3]
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