Ensino Superior ⇒ Integral simples Tópico resolvido

[Thadeu]

Tem aproximadamente 27 anos que não trabalho com cálculo integral, gostaria de uma força para resolver essa questão, acredito que seja muito simples mas não enxerguei a solução.

[tex3]\int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x}}[/tex3]

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[tex3]\int\frac{dx}{1+\sqrt[3]{x}}[/tex3]

Muito obrigado.

[erihh3]

Acho que o jeito mais fácil é fazer uma troca de variáveis.

Seja [tex3]u=1+\sqrt[3]{x}[/tex3]

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[tex3]u=1+\sqrt[3]{x}[/tex3]

Daí,

[tex3]du=\frac{x^{-2/3}}{3}dx\Rightarrow dx=3.x^{2/3}.du[/tex3]

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[tex3]du=\frac{x^{-2/3}}{3}dx\Rightarrow dx=3.x^{2/3}.du[/tex3]

Substituindo [tex3]u-1=\sqrt[3]{x}[/tex3]

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[tex3]u-1=\sqrt[3]{x}[/tex3]

que temos da primeira equação na equação acima, tem-se:

[tex3]dx=3.(u-1)^2.du[/tex3]

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[tex3]dx=3.(u-1)^2.du[/tex3]

Fazendo, agora, as trocas de variável na integral pedida, tem-se:

[tex3]\int\frac{3.(u-1)^2}{u}du[/tex3]

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[tex3]\int\frac{3.(u-1)^2}{u}du[/tex3]

[tex3]3\int\frac{u^2-2u+1}{u}du[/tex3]

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[tex3]3\int\frac{u^2-2u+1}{u}du[/tex3]

[tex3]3\int \left(u-2+\frac{1}{u}\right)du[/tex3]

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[tex3]3\int \left(u-2+\frac{1}{u}\right)du[/tex3]

[tex3]3\left[\int u.du-\int2.du+\int\frac{1}{u}.du\right][/tex3]

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[tex3]3\left[\int u.du-\int2.du+\int\frac{1}{u}.du\right][/tex3]

[tex3]3\left[\frac{u^2}{2}-2u+\ln u\right]+C,\quad C\in\mathbb{R}[/tex3]

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[tex3]3\left[\frac{u^2}{2}-2u+\ln u\right]+C,\quad C\in\mathbb{R}[/tex3]

Voltando para a variável x usando a primeira relação que usamos, obtém-se a seguinte resposta:

[tex3]3\left[\frac{(1+\sqrt[3]{x})^2}{2}-2.(1+\sqrt[3]{x})+\ln (1+\sqrt[3]{x})\right]+C[/tex3]

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[tex3]3\left[\frac{(1+\sqrt[3]{x})^2}{2}-2.(1+\sqrt[3]{x})+\ln (1+\sqrt[3]{x})\right]+C[/tex3]

[Thadeu]

Mais uma vez venho lhe agradecer pela solução, muito obrigado!!!