Ensino Superior ⇒ Serie de Laurent - Expansao Tópico resolvido

[Ronny]

Desenvolva a funcao dada em serie de Laurent no dominio indicado:

[tex3]f(z)=\frac{1}{z^{2}-4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(z)=\frac{1}{z^{2}-4}[/tex3]

, onde [tex3]4<|z+2|<+\infty[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]4<|z+2|<+\infty[/tex3]

.

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

15395213185271652273771979554092.jpg (47.67 KiB) Exibido 730 vezes

[tex3]A_{4,∞}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]A_{4,∞}[/tex3]

= { z ; 4 < | z + 2 | }

Se | z + 2 | > 4 então [tex3]|\frac{4}{z+2}|<1[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]|\frac{4}{z+2}|<1[/tex3]

. Temos

z² - 4 = 0 → z = ± 2

[tex3]f(z)=\frac{0.z+1}{z^2-4}=\frac{A}{z-2}+\frac{B}{z+2}=\frac{A(z+2)+B(z-2)}{(z-2)(z+2)}=\frac{(A+B).z+2A-2B}{z^2-4}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(z)=\frac{0.z+1}{z^2-4}=\frac{A}{z-2}+\frac{B}{z+2}=\frac{A(z+2)+B(z-2)}{(z-2)(z+2)}=\frac{(A+B).z+2A-2B}{z^2-4}[/tex3]

Basta comparar os termos e montamos o sistema, vem;

{ A + B = 0
{ 2A - 2B = 1

Do sistema, resulta , A = 1/4 e B = - 1/4

Daí;

[tex3]f(z) = \frac{1}{4}.[\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z+2}][/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f(z) = \frac{1}{4}.[\frac{1}{z-2}-\frac{1}{z+2}][/tex3]

[tex3]\bullet \frac{1}{z-2}=\frac{1}{(z+2)-2-2}=\frac{1}{(z+2)-4}=\frac{1}{(z+2)}.\frac{1}{1-\frac{4}{z+2}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\bullet \frac{1}{z-2}=\frac{1}{(z+2)-2-2}=\frac{1}{(z+2)-4}=\frac{1}{(z+2)}.\frac{1}{1-\frac{4}{z+2}}[/tex3]

Fica;

[tex3]\frac{1}{z+2}\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^n}{(z+2)^n}=\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^n}{(z+2)^{n+1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{z+2}\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^n}{(z+2)^n}=\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^n}{(z+2)^{n+1}}[/tex3]

Assim;

[tex3]\frac{1}{4}.[\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^n}{(z+2)^{n+1}}-\frac{1}{z+2}]=-\frac{1}{4}.\frac{1}{z+2}+\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^{n-1}}{(z+2)^{n+1}}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}.[\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^n}{(z+2)^{n+1}}-\frac{1}{z+2}]=-\frac{1}{4}.\frac{1}{z+2}+\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^{n-1}}{(z+2)^{n+1}}[/tex3]

, | z + 2 | > 4


Nota

Faz tanto tempo que estudei este assunto que não tenho tanta convicção da minha resposta, mais de qualquer forma suponho que tenha ajudado de alguma maneira

Ah! Talvez fazendo alguma manipulação algébrica , a série poderá ficar com a "cara" mais elegante!


Bons estudos!

[Cardoso1979]

Outra maneira de interpretar essa mesma resposta é:

[tex3]\frac{1}{4}.[\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^n}{(z+2)^{n+1}}-\frac{1}{z+2}]=-\frac{1}{4}.\frac{1}{z+2}+\sum_{n=1}^{+∞} 4^{n-2}.(z+2)^{-n}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{4}.[\sum_{n=0}^{∞}\frac{4^n}{(z+2)^{n+1}}-\frac{1}{z+2}]=-\frac{1}{4}.\frac{1}{z+2}+\sum_{n=1}^{+∞} 4^{n-2}.(z+2)^{-n}[/tex3]