Ensino Superior ⇒ Dependência Linear Tópico resolvido

[jrneliodias]

Demonstrar que o conjunto [tex3]\{1,\,e^x,\,xe^x\}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\{1,\,e^x,\,xe^x\}[/tex3]

de vetores de [tex3]C([0,1])[/tex3]

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[tex3]C([0,1])[/tex3]

é LI

[erihh3]

Se a relação for verdadeira, ela valerá para todo x pertencente ao intervalo dado. Nossa hipótese, então é que a relação valerá para x=0 e x=1.

[tex3]a_1.1+a_2.e^x+a_3.xe^x=0[/tex3]

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[tex3]a_1.1+a_2.e^x+a_3.xe^x=0[/tex3]

Para x=0

[tex3]a_1.1+a_2+a_3.0=0\Rightarrow a_1+a_2=0[/tex3]

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[tex3]a_1.1+a_2+a_3.0=0\Rightarrow a_1+a_2=0[/tex3]

Daí,

[tex3]a_2=-a_1[/tex3]

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[tex3]a_2=-a_1[/tex3]

(i)

Para x=1

[tex3]a_1.1+a_2.e+a_3.e=0[/tex3]

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[tex3]a_1.1+a_2.e+a_3.e=0[/tex3]

Substituindo (i)

[tex3]a_3=\frac{e-1}{e}.a_1[/tex3]

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[tex3]a_3=\frac{e-1}{e}.a_1[/tex3]

(ii)

Substituindo na expressão original, temos:

[tex3]a_1.1-a_1.e^x+\frac{e-1}{e}.a_1.xe^x=0[/tex3]

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[tex3]a_1.1-a_1.e^x+\frac{e-1}{e}.a_1.xe^x=0[/tex3]

[tex3]a_1\left(1-e^x+\frac{e-1}{e}.xe^x\right)=0,\quad \forall x\in C[/tex3]

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[tex3]a_1\left(1-e^x+\frac{e-1}{e}.xe^x\right)=0,\quad \forall x\in C[/tex3]

Vemos que [tex3]1-e^x+\frac{e-1}{e}.xe^x[/tex3]

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[tex3]1-e^x+\frac{e-1}{e}.xe^x[/tex3]

não se anula em todo valor de x pertencente a C. Então poderíamos usar um valor de x qualquer nesse intervalo para mostrar que é diferente de 0. Seja ele x=0,5 por exemplo.

[tex3]1-e^{0,5}+\frac{e-1}{e}.0,5.e^{0,5}\not= 0[/tex3]

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[tex3]1-e^{0,5}+\frac{e-1}{e}.0,5.e^{0,5}\not= 0[/tex3]

Daí, [tex3]a_1=0[/tex3]

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[tex3]a_1=0[/tex3]

(iii)

Substituindo iii em i, tem-se:

[tex3]a_2=0[/tex3]

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[tex3]a_2=0[/tex3]

Substituindo em iii em ii

[tex3]a_3=0[/tex3]

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[tex3]a_3=0[/tex3]

Portanto, o conjunto é LI no intervalo dado.

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Eu vi que você estava em dúvida sobre utilizar derivadas para demonstrar dependência linear em outro tópico. Dê uma olhada em Wronskiano. Costuma ser o jeito mais fácil de demonstrar quando é analisado um conjunto de funções.

[erihh3]

Off Topic

Eu vi que você estava em dúvida sobre utilizar derivadas para demonstrar dependência linear em outro tópico. Dê uma olhada em Wronskiano. Costuma ser o jeito mais fácil de demonstrar quando é analisado um conjunto de funções.

Tem um exemplo nesse tópico: viewtopic.php?t=68534

[jrneliodias]

muito obrigado, Erihh3.

[jrneliodias]

Jovem, para x = 1 e x = 0, aquele termo gigante irá anular

[erihh3]

Jovem, para x = 1 e x = 0, aquele termo gigante irá anular

Exatamente!
Esses são os únicos pontos no intervalo que satisfazem a equação justamente porque eu os escolhi para determinação dos coeficientes.
O ponto é que a relação em que chegamos deve valer para todo x no intervalo de [0,1] e não somente para alguns valores.


Pegue outro conjunto de funções LI e veja que a mesma coisa acontece: ela pode ser satisfeita por alguns valores, mas não todos caso o coeficiente seja diferente de 0.
Se a questão fosse para mostrar que o conjunto {x, x²} é LI em Reais, por exemplo, teríamos:

a.x+b.x²=0

Para x=1

a+b=0
b=-a

Substituindo na original:

a(x-x^2)=0

Podemos ver que para x=0 e x=1 o "a" não precisa ser 0. No entanto, para valer para todos os reais (que é o intervalo pedido), a relação deve valer para todo x e não somente 0 e 1. Portanto, "a" deve ser igual a 0 e "b" também deve ser. Daí, o conjunto do exemplo é LI.