Ensino Superior ⇒ Seno do Ângulo entre Dois Vetores

[MaLvAdOozz]

Olá galera gostaria de saber se está sentença é verdadeira ou não e o por que, não estou conseguindo fazer.

O seno do ângulo entre dois vetores x e y vale [<x,x><y,y> - <x,y><x,y>]/[<x,x><y,y>].

[erihh3]

Sabe-se que
[tex3]< x,x >=||x||^2[/tex3]

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[tex3]< x,x >=||x||^2[/tex3]

[tex3]< y,y >=||y||^2[/tex3]

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[tex3]< y,y >=||y||^2[/tex3]

e

[tex3]\sen^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1[/tex3]

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[tex3]\sen^2(\theta)+\cos^2(\theta)=1[/tex3]

Além disso,

[tex3]< x,y >=||y||.||x||.\cos(\theta)[/tex3]

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[tex3]< x,y >=||y||.||x||.\cos(\theta)[/tex3]

Elevando ao quadrado

[tex3]< x,y >^2=||y||^2.||x||^2.\cos^2(\theta)[/tex3]

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[tex3]< x,y >^2=||y||^2.||x||^2.\cos^2(\theta)[/tex3]

Substituindo pelas relações vistas anteriormente, tem-se:

[tex3]< x,y >^2=< y,y >. < x,x >.(1-\sen^2(\theta))[/tex3]

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[tex3]< x,y >^2=< y,y >. < x,x >.(1-\sen^2(\theta))[/tex3]

[tex3]\frac{< x,y >^2}{< y,y >. < x,x >}=1-\sen^2(\theta)[/tex3]

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[tex3]\frac{< x,y >^2}{< y,y >. < x,x >}=1-\sen^2(\theta)[/tex3]

[tex3]\sen^2(\theta)=1-\frac{< x,y >^2}{< y,y >. < x,x >}[/tex3]

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[tex3]\sen^2(\theta)=1-\frac{< x,y >^2}{< y,y >. < x,x >}[/tex3]

[tex3]\sen^2(\theta)=\frac{< y,y >. < x,x >-< x,y >^2}{< y,y >. < x,x >}[/tex3]

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[tex3]\sen^2(\theta)=\frac{< y,y >. < x,x >-< x,y >^2}{< y,y >. < x,x >}[/tex3]

Daí,

[tex3]\sen(\theta)=\pm\sqrt\frac{< y,y >. < x,x >-< x,y >^2}{< y,y >. < x,x >}[/tex3]

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[tex3]\sen(\theta)=\pm\sqrt\frac{< y,y >. < x,x >-< x,y >^2}{< y,y >. < x,x >}[/tex3]

Portanto, a afirmativa é FALSA