Ensino Superior ⇒ EDO Segunda Ordem Tópico resolvido

[MichelChagas]

Seja a equação diferencial ordinária [tex3]y" - y = 0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y" - y = 0[/tex3]

com condições iniciais [tex3]y(0) =1[/tex3]

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[tex3]y(0) =1[/tex3]

e [tex3]y'(0) = 2[/tex3]

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[tex3]y'(0) = 2[/tex3]

. Determine a solução para o problema de valor inicial.

Resposta

---

GABARITO: [tex3]\frac{3}{2}e^x - \frac{1}{2} e^{-x}[/tex3]

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[tex3]\frac{3}{2}e^x - \frac{1}{2} e^{-x}[/tex3]

[Berredo]

[/tex3]MichelChagas, Olá
[tex3]y" - y = 0[/tex3]

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[tex3]y" - y = 0[/tex3]

Utilizando equação característica
[tex3]r^2=1[/tex3]

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[tex3]r^2=1[/tex3]

Portanto, [tex3]r=\pm 1[/tex3]

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[tex3]r=\pm 1[/tex3]

Baseando-se na solução geral.
[tex3]y=C_1e^{x_1x}+C_2e^{x_2x}[/tex3]

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[tex3]y=C_1e^{x_1x}+C_2e^{x_2x}[/tex3]

[tex3]y=C_1e^{_1x}+C_2e^{-1x}[/tex3]

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[tex3]y=C_1e^{_1x}+C_2e^{-1x}[/tex3]

[tex3]y=C_1e^x+\frac{C_2}{e^x}[/tex3]

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[tex3]y=C_1e^x+\frac{C_2}{e^x}[/tex3]

Substituindo [tex3]y(0)=1[/tex3]

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[tex3]y(0)=1[/tex3]

na solução geral vem;
[tex3]1=C_1e^0+\frac{C_2}{e^0}\rightarrow 1=C_1+C_2[/tex3]

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[tex3]1=C_1e^0+\frac{C_2}{e^0}\rightarrow 1=C_1+C_2[/tex3]

1
substituindo [tex3]y'(0)=2[/tex3]

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[tex3]y'(0)=2[/tex3]

na derivada da solução geral vem;
[tex3]2=C_1e^0-\frac{C_2}{e^0}\rightarrow 2=C_1-C_2[/tex3]

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[tex3]2=C_1e^0-\frac{C_2}{e^0}\rightarrow 2=C_1-C_2[/tex3]

2
resolvendo o sistema em 1 e 2
temos [tex3]C_1=\frac{3}{2}[/tex3]

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[tex3]C_1=\frac{3}{2}[/tex3]

e [tex3]C_2=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]C_2=-\frac{1}{2}[/tex3]

substituindo na solução geral.
[tex3]y=\frac{3}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{-x}[/tex3]

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[tex3]y=\frac{3}{2}e^x-\frac{1}{2}e^{-x}[/tex3]

[MichelChagas]

Meu amigo, muito obrigado pela ajuda! Abração.