Ensino Superior

Decomponha [tex3]\vec{W}= -\vec{i}-\vec{3j}+\vec{2k}[/tex3] como a soma de dois vetores [tex3]\vec{W_{1}}[/tex3] e [tex3]\vec{W_{2}}[/tex3] com [tex3]\vec{W_{1}}[/tex3] paralelo ao vetor [tex3]\vec{V}=\vec{2j}[/tex3] e [tex3]\vec{W_{2}}[/tex3] ortogonal a [tex3]\vec{V}[/tex3] .

Observe

Uma solução:

Sejam [tex3]\vec{W}_{1}=(x,y,z) \ e \ \vec{W}_{2}=(m,n,t)[/tex3]

Temos que;

[tex3]\vec{W}=\vec{W}_{1}+\vec{W}_{2}[/tex3]

( - 1 , - 3 , 2 ) = ( x , y , z ) + ( m , n , t )

Montando o sistema, vem;

{ x + m = - 1
{ y + n = - 3
{ z + t = 2

Como [tex3]\vec{W}_{1}[/tex3] é paralelo a [tex3]\vec{V}=2\vec{j}[/tex3] , ou seja , [tex3]\vec{V}[/tex3] = ( 0 , 2 , 0 ) , então;

[tex3]\vec{W}_{1}[/tex3] = k.[tex3]\vec{V}[/tex3]

[tex3]\vec{W}_{1}[/tex3] = k.( 0 , 2 , 0 )

( x , y , z ) = ( 0 , 2k , 0 ) → x = 0 , y = 2k , z = 0

Por outro lado, como [tex3]\vec{W}_{2}[/tex3] é ortogonal a [tex3]\vec{V}[/tex3] = ( 0 , 2 , 0 ) , fica;

[tex3]\vec{W}_{2}.\vec{V}[/tex3] = 0

( m , n , t ).( 0 , 2 , 0 ) = 0 → n = 0

Voltando ao sistema do início da solução e substituindo os valores acima encontrados, vem;

x = 0 → 0 + m = - 1 → m = - 1

y = 2k e n = 0 → 2k + 0 = - 3 → k = - 3/2

y = (- 3.2 )/2 → y = - 3

z = 0 → 0 + t = 2 → t = 2

Logo, [tex3]\vec{W}_{1}[/tex3] = ( 0 , - 3 , 0 ) e [tex3]\vec{W}_{2}[/tex3] = ( - 1 , 0 , 2 )

Portanto,

[tex3]\vec{W}[/tex3] = ( 0 , - 3 , 0 ) + ( - 1 , 0 , 2 ).

Bons estudos!

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