Ensino Superior ⇒ Distância do ponto em relação ao plano Tópico resolvido

[magben]

Encontre e assinale a opção que representa a distância do ponto P = (-2, -3, 2) em relação ao plano [tex3]\pi : 2x-2y-z+3=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\pi : 2x-2y-z+3=0[/tex3]

a) 1/3
b) 2/3
c) 7/3
d) 8/3
e) 1

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Vamos encontrar três pontos que pertencem ao plano π, temos:

x = 0 e y = 0 → z = 3 → A = ( 0 , 0 , 3 )

x = 0 e z = 0 → y = 3/2 → B = ( 0 , 3/2 , 0 )

y = 0 e z = 0 → x = - 3/2 → C = ( - 3/2 , 0 , 0 )

Precisamos de dois vetores, façamos;

[tex3]\vec{U}=\vec{AB}=B-A=(0,3/2,0)-(0,0,3)=(0,3/2,-3)[/tex3]

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[tex3]\vec{U}=\vec{AB}=B-A=(0,3/2,0)-(0,0,3)=(0,3/2,-3)[/tex3]

[tex3]\vec{V}=\vec{AC}=C-A=(-3/2,0,0)-(0,0,3)=(-3/2,0,-3)[/tex3]

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[tex3]\vec{V}=\vec{AC}=C-A=(-3/2,0,0)-(0,0,3)=(-3/2,0,-3)[/tex3]

Adotando o ponto A, fica;

[tex3]\vec{PA}=A-P=(0,0,3)-(-2,-3,2)=(2,3,1)[/tex3]

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[tex3]\vec{PA}=A-P=(0,0,3)-(-2,-3,2)=(2,3,1)[/tex3]

Calculando o produto misto, vem;

[tex3][\vec{U},\vec{V},\vec{PA}]=\left[ \begin{array}{ccc}
0 & \frac{3}{2} & -3 \\
-\frac{3}{2} & 0 & -3\\
2 & 3 & 1
\end{array} \right][/tex3]

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[tex3][\vec{U},\vec{V},\vec{PA}]=\left[ \begin{array}{ccc}
0 & \frac{3}{2} & -3 \\
-\frac{3}{2} & 0 & -3\\
2 & 3 & 1
\end{array} \right][/tex3]

Desenvolvendo...o resultado do determinante( produto misto ) é:

[tex3][\vec{U},\vec{V},\vec{PA}]=\frac{27}{4}[/tex3]

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[tex3][\vec{U},\vec{V},\vec{PA}]=\frac{27}{4}[/tex3]

Calculando o produto vetorial, temos;

[tex3]\vec{U}\wedge \vec{V}= \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & \frac{3}{2} & -3\\
-\frac{3}{2} & 0 & -3
\end{array} \right|[/tex3]

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[tex3]\vec{U}\wedge \vec{V}= \left| \begin{array}{rcr}
\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\
0 & \frac{3}{2} & -3\\
-\frac{3}{2} & 0 & -3
\end{array} \right|[/tex3]

Desenvolvendo, o valor do determinante ( produto vetorial ) é:

[tex3]\vec{U}\wedge \vec{V}=-\frac{9}{2}\vec{i}+\frac{9}{2}\vec{j}+\frac{9}{4}\vec{k}=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2},\frac{9}{4}\right)[/tex3]

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[tex3]\vec{U}\wedge \vec{V}=-\frac{9}{2}\vec{i}+\frac{9}{2}\vec{j}+\frac{9}{4}\vec{k}=\left(-\frac{9}{2},\frac{9}{2},\frac{9}{4}\right)[/tex3]

Assim,

[tex3]d_{Pπ}=\frac{|[\vec{U},\vec{V},\vec{PA}]|}{||\vec{U}\wedge \vec{V}||}[/tex3]

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[tex3]d_{Pπ}=\frac{|[\vec{U},\vec{V},\vec{PA}]|}{||\vec{U}\wedge \vec{V}||}[/tex3]

Obs.

[tex3]||\vec{U}\wedge \vec{V}||=\sqrt{\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}}=\frac{27}{4}[/tex3]

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[tex3]||\vec{U}\wedge \vec{V}||=\sqrt{\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}}=\frac{27}{4}[/tex3]

[tex3]d_{Pπ}=\frac{|\frac{27}{4}|}{\frac{27}{4}}=1[/tex3]

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[tex3]d_{Pπ}=\frac{|\frac{27}{4}|}{\frac{27}{4}}=1[/tex3]

Portanto, a distância do ponto P em relação ao plano π é 1, alternativa e).



Bons estudos!