Olá, Comunidade!
Vocês devem ter notado que o site ficou um período fora do ar (do dia 26 até o dia 30 de maio de 2024).
Consegui recuperar tudo, e ainda fiz um UPGRADE no servidor! Agora estamos em um servidor dedicado no BRASIL!
Isso vai fazer com que o acesso fique mais rápido (espero )
Já arrumei os principais bugs que aparecem em uma atualização!
Mas, se você encontrar alguma coisa diferente, que não funciona direito, me envie uma MP avisando que eu arranjo um tempo pra arrumar!
Vamos crescer essa comunidade juntos
Grande abraço a todos,
Prof. Caju
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Ensino Superior ⇒ Cálculo de áreas utilizando integrais Tópico resolvido
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Set 2018
29
17:13
Cálculo de áreas utilizando integrais
Como calculo a área da região delimitada pelas funções y=3([tex3]x^{3}-x[/tex3]
) e y=0?
Editado pela última vez por marciliomoura em 29 Set 2018, 17:15, em um total de 2 vezes.
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Set 2018
29
17:54
Re: Cálculo de áreas utilizando integrais
Podemos reescrever a equação assim:
[tex3]y=3.x.(x^{2}-1)[/tex3]
Dessa expressão, fica fácil ver que quando x tende a infinito, y também tende a infinito. Além disso, quando x tende a -infinito, y tenderá, também a -infinito.
A conclusão é que a área pedida está entre as raízes do polinômio, haja vista que ele é contínuo.
Já que y=0 representa o próprio eixo x, temos que as raízes são -1, 0 e 1.
Podemos perceber, além disso, que y é uma função ímpar, uma vez que f(-x)=-f(x). Verifique isso!
Então, a área pedida em um intervalo simétrico seria 0. Mas, como estamos falando da areá absoluta deles, basta aplicar o módulo e perceber que a função é positiva para [tex3]x\in(-1,0)[/tex3] e negativa para [tex3]x\in(0,1)[/tex3]
Portanto, a área pedida será:
[tex3]A_1=\int_{0}^{1}|y|.dx[/tex3]
[tex3]A_1=\int_{0}^{1}-3.(x^{3}-x).dx[/tex3]
[tex3]A_1=-3.\int_{0}^{1}(x^{3}-x).dx[/tex3]
[tex3]A_1=-3.\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^2}{2}\right)|_{0}^1[/tex3]
[tex3]A_1=\frac{3}{4}[/tex3]
Para [tex3]A_2[/tex3] , já que vimos que a função é ímpar. As áreas serão iguais em módulo. Então, [tex3]A_2=A_1=\frac{3}{4}[/tex3]
Daí,
[tex3]A=A_1+A_2[/tex3]
[tex3]A=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}[/tex3]
[tex3]y=3.x.(x^{2}-1)[/tex3]
Dessa expressão, fica fácil ver que quando x tende a infinito, y também tende a infinito. Além disso, quando x tende a -infinito, y tenderá, também a -infinito.
A conclusão é que a área pedida está entre as raízes do polinômio, haja vista que ele é contínuo.
Já que y=0 representa o próprio eixo x, temos que as raízes são -1, 0 e 1.
Podemos perceber, além disso, que y é uma função ímpar, uma vez que f(-x)=-f(x). Verifique isso!
Então, a área pedida em um intervalo simétrico seria 0. Mas, como estamos falando da areá absoluta deles, basta aplicar o módulo e perceber que a função é positiva para [tex3]x\in(-1,0)[/tex3] e negativa para [tex3]x\in(0,1)[/tex3]
Portanto, a área pedida será:
[tex3]A_1=\int_{0}^{1}|y|.dx[/tex3]
[tex3]A_1=\int_{0}^{1}-3.(x^{3}-x).dx[/tex3]
[tex3]A_1=-3.\int_{0}^{1}(x^{3}-x).dx[/tex3]
[tex3]A_1=-3.\left(\frac{x^{4}}{4}-\frac{x^2}{2}\right)|_{0}^1[/tex3]
[tex3]A_1=\frac{3}{4}[/tex3]
Para [tex3]A_2[/tex3] , já que vimos que a função é ímpar. As áreas serão iguais em módulo. Então, [tex3]A_2=A_1=\frac{3}{4}[/tex3]
Daí,
[tex3]A=A_1+A_2[/tex3]
[tex3]A=\frac{3}{4}+\frac{3}{4}=\frac{3}{2}[/tex3]
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