Estou com dúvida a respeito do que devo fazer para chegar nos limites de integração da seguinte questão:
* Considere o sólido S acima do paraboloide z = [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]
e abaixo do cone z = [tex3]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3]
- Usando integrais duplas, calcule o volume de S
- Usando integrais triplas, calcule o volume de S
Ensino Superior ⇒ Limites Integração Paraboloide x Cone Tópico resolvido
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Set 2018
21
17:51
Re: Limites Integração Paraboloide x Cone
Observe
Somente agora encontrei um tempo para resolver esta questão, estou muito ocupado...
Solução:
x² + y² = 1 ⇒ y = ± √( 1 - x² )
Fazendo y = 0 , vem;
x² = 1 ⇒ x = ± 1
O volume do sólido S em coordenadas cartesianas, usando integral dupla é dado por:
S = { ( x , y ) | - 1 ≤ x ≤ 1 , - √( 1 - x² ) ≤ y ≤ √( 1 - x² ) }
Logo,
[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-x^2-y^2) \ dydx=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Usando integral tripla, o sólido S é dado por; S = { ( x , y ) | - 1 ≤ x ≤ 1 , - √( 1 - x² ) ≤ y ≤ √( 1 - x² ) , x² + y² ≤ z ≤ √( x² + y² ) }
[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}}1 \ dzdydx=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Obs.1- É muito complexo resolver este tipo de questão em coordenadas cartesianas, para este caso a maneira mais fácil e adequada é usar coordenadas polares ou coordenadas cilíndricas.
• Usando coordenadas polares, temos que:
{ x² + y² = r²
{ x = r.cos θ
{ y = r.sen θ
{ dydx = r drdθ
Daí;
x² + y² = 1 ⇒ r² = 1 ⇒ r = ± 1, como devemos ter r ≥ 0, então nesse caso r = 1 , por outro lado, como trata-se de uma circunferência ( volta completa ), logo θ varia de 0 a 2π , temos que o sólido S é dado por:
S = { ( θ , r ) | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1 }
Portanto, usando integral dupla, fica;
[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}(\sqrt{x^2+y^2}-x^2-y^2) \ dydx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(\sqrt{r^2}-r^2).r \ drdθ[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r^2-r^3) \ drdθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3] , simples demais! Nem se compara!
• Em coordenadas cilíndricas
{ √( x² + y² ) = r
{ x² + y² = r²
{ x = r.cos θ
{ y = r.sen θ
{ z = z
{ dzdydx = r dzdrdθ
Como a projeção de S no plano xy é uma circunferência de raio 1( ver figura ), logo θ varia de 0 a 2π. Assim, em coordenadas cilíndricas o sólido é dado por
S = { ( θ , r , z ) | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1 , r² ≤ z ≤ r }
Portanto, usando integral tripla, vem;
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{r^2}^{r}r \ dzdrdθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Obs. 2 - Podemos também usar coordenadas esféricas, veja;
Primeiramente, calculamos a intersecção das duas superfícies, vem;
z = z
x² + y² = √( x² + y² ) ⇒ ( x² + y² ).( x² + y² - 1 ) = 0 ⇒ x² + y² = 0 ou x² + y² = 1
Logo, a intersecção se dá nós planos z = 0 e z = 1, e a sua projeção no plano xy é a circunferência x² + y² = 1. Assim, o esboço de S está representado na figura que se segue
Obs.3 - Entenda o sólido S, como sendo o sólido em torno da parte que "cobre" o cone ( veja a figura e imagine essa situação ).
O ângulo ϕ varia de π/2 ( plano xy ao eixo z positivo ) a π/4 ( parede do cone ) , analisando a figura você compreenderá melhor o que eu descrevi. A variação de θ é encontrado na projeção de S no plano xy : 0 ≤ θ ≤ 2π , por outro lado, transformando a equação z = x² + y² para coordenadas esféricas temos:
ρ.cos ϕ = ρ².sen² ϕ ⇒ ρ = ( cos ϕ )/( sen² ϕ ). Isso significa que ρ varia de 0 a ( cos ϕ )/( sen² ϕ ) . Daí; S [tex3]_{\rho \phi \theta }[/tex3] é dado por:
[tex3]S_{\rho \phi \theta }:\begin{cases}
0≤\theta ≤2π \\
\frac{π}{4}≤\phi ≤\frac{π}{2} \\
0≤\rho ≤\frac{cos\phi }{sen^2\phi }
\end{cases}[/tex3]
{ dzdydx = ρ².sen ϕ dρdϕdθ
{ x = ρ.sen ϕ.cos θ
{ y = ρ.sen ϕ.sen θ
{ z = ρ.cos ϕ
{ x² + y² = ρ².sen² ϕ
Portanto,
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{cos\phi }{sen^2\phi }}\rho^2sen \ \phi \ d\rho d\phi dθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Nota
z = √( x² + y² )
ρ.cos ϕ = √( ρ².sen² ϕ )
[tex3]\frac{sen\phi }{cos\phi }=1[/tex3]
tg ϕ = 1 ⇒ ϕ = π/4 ( equação do cone em coordenadas esféricas )
Bons estudos!
Somente agora encontrei um tempo para resolver esta questão, estou muito ocupado...
Solução:
x² + y² = 1 ⇒ y = ± √( 1 - x² )
Fazendo y = 0 , vem;
x² = 1 ⇒ x = ± 1
O volume do sólido S em coordenadas cartesianas, usando integral dupla é dado por:
S = { ( x , y ) | - 1 ≤ x ≤ 1 , - √( 1 - x² ) ≤ y ≤ √( 1 - x² ) }
Logo,
[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-x^2-y^2) \ dydx=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Usando integral tripla, o sólido S é dado por; S = { ( x , y ) | - 1 ≤ x ≤ 1 , - √( 1 - x² ) ≤ y ≤ √( 1 - x² ) , x² + y² ≤ z ≤ √( x² + y² ) }
[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}}1 \ dzdydx=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Obs.1- É muito complexo resolver este tipo de questão em coordenadas cartesianas, para este caso a maneira mais fácil e adequada é usar coordenadas polares ou coordenadas cilíndricas.
• Usando coordenadas polares, temos que:
{ x² + y² = r²
{ x = r.cos θ
{ y = r.sen θ
{ dydx = r drdθ
Daí;
x² + y² = 1 ⇒ r² = 1 ⇒ r = ± 1, como devemos ter r ≥ 0, então nesse caso r = 1 , por outro lado, como trata-se de uma circunferência ( volta completa ), logo θ varia de 0 a 2π , temos que o sólido S é dado por:
S = { ( θ , r ) | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1 }
Portanto, usando integral dupla, fica;
[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}(\sqrt{x^2+y^2}-x^2-y^2) \ dydx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(\sqrt{r^2}-r^2).r \ drdθ[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r^2-r^3) \ drdθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3] , simples demais! Nem se compara!
• Em coordenadas cilíndricas
{ √( x² + y² ) = r
{ x² + y² = r²
{ x = r.cos θ
{ y = r.sen θ
{ z = z
{ dzdydx = r dzdrdθ
Como a projeção de S no plano xy é uma circunferência de raio 1( ver figura ), logo θ varia de 0 a 2π. Assim, em coordenadas cilíndricas o sólido é dado por
S = { ( θ , r , z ) | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1 , r² ≤ z ≤ r }
Portanto, usando integral tripla, vem;
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{r^2}^{r}r \ dzdrdθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Obs. 2 - Podemos também usar coordenadas esféricas, veja;
Primeiramente, calculamos a intersecção das duas superfícies, vem;
z = z
x² + y² = √( x² + y² ) ⇒ ( x² + y² ).( x² + y² - 1 ) = 0 ⇒ x² + y² = 0 ou x² + y² = 1
Logo, a intersecção se dá nós planos z = 0 e z = 1, e a sua projeção no plano xy é a circunferência x² + y² = 1. Assim, o esboço de S está representado na figura que se segue
Obs.3 - Entenda o sólido S, como sendo o sólido em torno da parte que "cobre" o cone ( veja a figura e imagine essa situação ).
O ângulo ϕ varia de π/2 ( plano xy ao eixo z positivo ) a π/4 ( parede do cone ) , analisando a figura você compreenderá melhor o que eu descrevi. A variação de θ é encontrado na projeção de S no plano xy : 0 ≤ θ ≤ 2π , por outro lado, transformando a equação z = x² + y² para coordenadas esféricas temos:
ρ.cos ϕ = ρ².sen² ϕ ⇒ ρ = ( cos ϕ )/( sen² ϕ ). Isso significa que ρ varia de 0 a ( cos ϕ )/( sen² ϕ ) . Daí; S [tex3]_{\rho \phi \theta }[/tex3] é dado por:
[tex3]S_{\rho \phi \theta }:\begin{cases}
0≤\theta ≤2π \\
\frac{π}{4}≤\phi ≤\frac{π}{2} \\
0≤\rho ≤\frac{cos\phi }{sen^2\phi }
\end{cases}[/tex3]
{ dzdydx = ρ².sen ϕ dρdϕdθ
{ x = ρ.sen ϕ.cos θ
{ y = ρ.sen ϕ.sen θ
{ z = ρ.cos ϕ
{ x² + y² = ρ².sen² ϕ
Portanto,
[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{cos\phi }{sen^2\phi }}\rho^2sen \ \phi \ d\rho d\phi dθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]
Nota
z = √( x² + y² )
ρ.cos ϕ = √( ρ².sen² ϕ )
[tex3]\frac{sen\phi }{cos\phi }=1[/tex3]
tg ϕ = 1 ⇒ ϕ = π/4 ( equação do cone em coordenadas esféricas )
Bons estudos!
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