Ensino Superior ⇒ Limites Integração Paraboloide x Cone Tópico resolvido

[Ragonezi]

Estou com dúvida a respeito do que devo fazer para chegar nos limites de integração da seguinte questão:
* Considere o sólido S acima do paraboloide z = [tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]

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[tex3]x^{2} + y^{2}[/tex3]

e abaixo do cone z = [tex3]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{x^{2}+y^{2}}[/tex3]

- Usando integrais duplas, calcule o volume de S
- Usando integrais triplas, calcule o volume de S

[Cardoso1979]

Observe

Somente agora encontrei um tempo para resolver esta questão, estou muito ocupado...

Solução:

x² + y² = 1 ⇒ y = ± √( 1 - x² )

Fazendo y = 0 , vem;

x² = 1 ⇒ x = ± 1

O volume do sólido S em coordenadas cartesianas, usando integral dupla é dado por:

S = { ( x , y ) | - 1 ≤ x ≤ 1 , - √( 1 - x² ) ≤ y ≤ √( 1 - x² ) }

Logo,

[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-x^2-y^2) \ dydx=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}(\sqrt{x^2+y^2}-x^2-y^2) \ dydx=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

Usando integral tripla, o sólido S é dado por; S = { ( x , y ) | - 1 ≤ x ≤ 1 , - √( 1 - x² ) ≤ y ≤ √( 1 - x² ) , x² + y² ≤ z ≤ √( x² + y² ) }

[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}}1 \ dzdydx=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{-1}^{1}\int\limits_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}}\int\limits_{x^2+y^2}^{\sqrt{x^2+y^2}}1 \ dzdydx=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

Obs.1- É muito complexo resolver este tipo de questão em coordenadas cartesianas, para este caso a maneira mais fácil e adequada é usar coordenadas polares ou coordenadas cilíndricas.

• Usando coordenadas polares, temos que:

{ x² + y² = r²
{ x = r.cos θ
{ y = r.sen θ
{ dydx = r drdθ

Daí;

x² + y² = 1 ⇒ r² = 1 ⇒ r = ± 1, como devemos ter r ≥ 0, então nesse caso r = 1 , por outro lado, como trata-se de uma circunferência ( volta completa ), logo θ varia de 0 a 2π , temos que o sólido S é dado por:

S = { ( θ , r ) | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1 }

Portanto, usando integral dupla, fica;

[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}(\sqrt{x^2+y^2}-x^2-y^2) \ dydx[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{S}^{}(\sqrt{x^2+y^2}-x^2-y^2) \ dydx[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(\sqrt{r^2}-r^2).r \ drdθ[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(\sqrt{r^2}-r^2).r \ drdθ[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r^2-r^3) \ drdθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}(r^2-r^3) \ drdθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

, simples demais! Nem se compara!

• Em coordenadas cilíndricas

{ √( x² + y² ) = r
{ x² + y² = r²
{ x = r.cos θ
{ y = r.sen θ
{ z = z
{ dzdydx = r dzdrdθ

Como a projeção de S no plano xy é uma circunferência de raio 1( ver figura ), logo θ varia de 0 a 2π. Assim, em coordenadas cilíndricas o sólido é dado por

S = { ( θ , r , z ) | 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ r ≤ 1 , r² ≤ z ≤ r }

Portanto, usando integral tripla, vem;

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{r^2}^{r}r \ dzdrdθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{r^2}^{r}r \ dzdrdθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

Obs. 2 - Podemos também usar coordenadas esféricas, veja;

Primeiramente, calculamos a intersecção das duas superfícies, vem;

z = z

x² + y² = √( x² + y² ) ⇒ ( x² + y² ).( x² + y² - 1 ) = 0 ⇒ x² + y² = 0 ou x² + y² = 1

Logo, a intersecção se dá nós planos z = 0 e z = 1, e a sua projeção no plano xy é a circunferência x² + y² = 1. Assim, o esboço de S está representado na figura que se segue

15375606918832012064134.jpg (57.05 KiB) Exibido 3027 vezes

Obs.3 - Entenda o sólido S, como sendo o sólido em torno da parte que "cobre" o cone ( veja a figura e imagine essa situação ).

1537560778441504474271.jpg (59.44 KiB) Exibido 3027 vezes

O ângulo ϕ varia de π/2 ( plano xy ao eixo z positivo ) a π/4 ( parede do cone ) , analisando a figura você compreenderá melhor o que eu descrevi. A variação de θ é encontrado na projeção de S no plano xy : 0 ≤ θ ≤ 2π , por outro lado, transformando a equação z = x² + y² para coordenadas esféricas temos:

ρ.cos ϕ = ρ².sen² ϕ ⇒ ρ = ( cos ϕ )/( sen² ϕ ). Isso significa que ρ varia de 0 a ( cos ϕ )/( sen² ϕ ) . Daí; S [tex3]_{\rho \phi \theta }[/tex3]

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[tex3]_{\rho \phi \theta }[/tex3]

é dado por:

[tex3]S_{\rho \phi \theta }:\begin{cases}
0≤\theta ≤2π \\
\frac{π}{4}≤\phi ≤\frac{π}{2} \\
0≤\rho ≤\frac{cos\phi }{sen^2\phi }
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]S_{\rho \phi \theta }:\begin{cases}
0≤\theta ≤2π \\
\frac{π}{4}≤\phi ≤\frac{π}{2} \\
0≤\rho ≤\frac{cos\phi }{sen^2\phi }
\end{cases}[/tex3]

{ dzdydx = ρ².sen ϕ dρdϕdθ
{ x = ρ.sen ϕ.cos θ
{ y = ρ.sen ϕ.sen θ
{ z = ρ.cos ϕ
{ x² + y² = ρ².sen² ϕ

Portanto,

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{cos\phi }{sen^2\phi }}\rho^2sen \ \phi \ d\rho d\phi dθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

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[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{\frac{π}{4}}^{\frac{π}{2}}\int\limits_{0}^{\frac{cos\phi }{sen^2\phi }}\rho^2sen \ \phi \ d\rho d\phi dθ=\frac{π}{6}u.v.[/tex3]

Nota

z = √( x² + y² )

ρ.cos ϕ = √( ρ².sen² ϕ )

[tex3]\frac{sen\phi }{cos\phi }=1[/tex3]

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[tex3]\frac{sen\phi }{cos\phi }=1[/tex3]

tg ϕ = 1 ⇒ ϕ = π/4 ( equação do cone em coordenadas esféricas )


Bons estudos!