Ensino Superior ⇒ Topologia Tópico resolvido
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Auto Excluído (ID:12031)
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Out 2018
29
20:48
Re: Topologia
a ida:
é fácil ver pela definição de fecho que [tex3]A \subset \overline A[/tex3]
agora é provar que se [tex3]A[/tex3] é fechado então [tex3]\overline A \subset A[/tex3]
suponha [tex3]x \in \overline A[/tex3]
então [tex3]\exists (x_n) \in A, \lim _{n \rightarrow \infty} x_n =x[/tex3]
se [tex3]x \notin A \implies x\in A^C[/tex3] que é aberto então existe uma bola de raio [tex3]\delta >0[/tex3] e centrada em [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]B_\delta (x) \in A^C[/tex3] (propriedade fundamental dos abertos)
mas nesse caso então não podemos ter [tex3]x = \lim_{n \rightarrow \infty} x_n[/tex3] pois se [tex3]x_n \in A[/tex3] então para [tex3]\epsilon = \delta[/tex3] teremos uma contradição: [tex3]|x_n - x| < \delta \implies x_n \in B_{\delta}(x), x_n \notin A[/tex3] . Portanto [tex3]x \in A[/tex3] e então como [tex3]x \in \overline A \implies x \in A[/tex3] temos [tex3]\overline A \subset A[/tex3]
como [tex3]A[/tex3] contém [tex3]\overline A[/tex3] e [tex3]\overline A[/tex3] contém [tex3]A[/tex3] então [tex3]A = \overline A[/tex3]
portanto se [tex3]A[/tex3] é fechado [tex3]A = \overline A[/tex3]
a volta:
suponha agora que [tex3]A = \overline A[/tex3] :
tome [tex3]x \notin A[/tex3] então existe um [tex3]\epsilon >0[/tex3] tal que [tex3]B_{\epsilon }(x) \cap A = \emptyset[/tex3] : do contrário tome [tex3]x_1[/tex3] como qualquer elemento de [tex3]A[/tex3] em [tex3]B_{1}(x)[/tex3] e [tex3]x_n[/tex3] qualquer elemento de [tex3]A[/tex3] em [tex3]B_{\frac1n}(x)[/tex3] e teremos [tex3]x_n \rightarrow x[/tex3] isso implicaria [tex3]x \in \overline A = A[/tex3] . Então se [tex3]x \notin A \implies \exists \epsilon >0, B_\epsilon ( x) \notin A[/tex3] o que significa que o complementar de [tex3]A[/tex3] é aberto e portanto, [tex3]A[/tex3] é fechado.
é fácil ver pela definição de fecho que [tex3]A \subset \overline A[/tex3]
agora é provar que se [tex3]A[/tex3] é fechado então [tex3]\overline A \subset A[/tex3]
suponha [tex3]x \in \overline A[/tex3]
então [tex3]\exists (x_n) \in A, \lim _{n \rightarrow \infty} x_n =x[/tex3]
se [tex3]x \notin A \implies x\in A^C[/tex3] que é aberto então existe uma bola de raio [tex3]\delta >0[/tex3] e centrada em [tex3]x[/tex3] tal que [tex3]B_\delta (x) \in A^C[/tex3] (propriedade fundamental dos abertos)
mas nesse caso então não podemos ter [tex3]x = \lim_{n \rightarrow \infty} x_n[/tex3] pois se [tex3]x_n \in A[/tex3] então para [tex3]\epsilon = \delta[/tex3] teremos uma contradição: [tex3]|x_n - x| < \delta \implies x_n \in B_{\delta}(x), x_n \notin A[/tex3] . Portanto [tex3]x \in A[/tex3] e então como [tex3]x \in \overline A \implies x \in A[/tex3] temos [tex3]\overline A \subset A[/tex3]
como [tex3]A[/tex3] contém [tex3]\overline A[/tex3] e [tex3]\overline A[/tex3] contém [tex3]A[/tex3] então [tex3]A = \overline A[/tex3]
portanto se [tex3]A[/tex3] é fechado [tex3]A = \overline A[/tex3]
a volta:
suponha agora que [tex3]A = \overline A[/tex3] :
tome [tex3]x \notin A[/tex3] então existe um [tex3]\epsilon >0[/tex3] tal que [tex3]B_{\epsilon }(x) \cap A = \emptyset[/tex3] : do contrário tome [tex3]x_1[/tex3] como qualquer elemento de [tex3]A[/tex3] em [tex3]B_{1}(x)[/tex3] e [tex3]x_n[/tex3] qualquer elemento de [tex3]A[/tex3] em [tex3]B_{\frac1n}(x)[/tex3] e teremos [tex3]x_n \rightarrow x[/tex3] isso implicaria [tex3]x \in \overline A = A[/tex3] . Então se [tex3]x \notin A \implies \exists \epsilon >0, B_\epsilon ( x) \notin A[/tex3] o que significa que o complementar de [tex3]A[/tex3] é aberto e portanto, [tex3]A[/tex3] é fechado.
Última edição: Auto Excluído (ID:12031) (Seg 29 Out, 2018 22:00). Total de 3 vezes.
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