Olá, gostaria de ajuda com uma questão de matemática.
Enunciado: Demonstre a desigualdade triangular, que afirma que se x e y são números reais, ´
então |x| + |y| ≥ |x + y| (em que |x| representa o valor absoluto de x, ou seja, se
x >= 0 então |x| = x, caso contrario, |x| = −x). [Use uma demonstração por
casos, considere os seguintes casos:
x>=0 e y>=0
x>=0 e y<0
x<0 e y >=0
x<0 e y<0
Agradeço desde já. Se além da resposta poder explicar a razão da resposta ser do jeito que é, eu agradeço mais
Ensino Superior ⇒ Demonstrações matemáticas Tópico resolvido
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Cardoso1979 
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Set 2018
15
20:01
Re: Demonstrações matemáticas
Observe
Uma demonstração:
Lembrando que : | x | ≤ | x | ⟺ - | x | ≤ x ≤ | x | e
| y | ≤ | y | ⟺ - | y | ≤ y ≤ | y | , somando membro a membro, temos que;
- ( | x | + | y | ) ≤ x + y ≤ | x | + | y |
Pela definição de inequação modular , resulta;
| x + y | ≤ | x | + | y |
Ou seja;
| x | + | y | ≥ | x + y | c.q.d.
Bons estudos!
Uma demonstração:
Lembrando que : | x | ≤ | x | ⟺ - | x | ≤ x ≤ | x | e
| y | ≤ | y | ⟺ - | y | ≤ y ≤ | y | , somando membro a membro, temos que;
- ( | x | + | y | ) ≤ x + y ≤ | x | + | y |
Pela definição de inequação modular , resulta;
| x + y | ≤ | x | + | y |
Ou seja;
| x | + | y | ≥ | x + y | c.q.d.
Bons estudos!
Set 2018
16
13:53
Re: Demonstrações matemáticas
Na demonstração por casos, deve-se chegar que a relação sempre é satisfeita para quais quer que sejam os números sob as condições impostas no teorema. Nesse caso, ele cobriu todos, haja vista que todo número real ou é maior ou igual a 0 ou é menor que 0.
[tex3]|x|+|y|\geq|x+y|[/tex3]
Vamos elevar ao quadrado, uma vez que, para [tex3]z>0[/tex3] , z [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] , a relação [tex3]z^2[/tex3] é uma relação injetora.
[tex3]|x|^2+2.|x|.|y|+|y|^2\geq x^2+2.x.y+y^2[/tex3]
Sabemos que [tex3]|x|^2=x^2, \forall x\in \mathbb{R}[/tex3] . A relação, vale para y.
[tex3]x^2+2.|x|.|y|+y^2\geq x^2+2.x.y+y^2[/tex3]
[tex3]|x|.|y|\geq x.y[/tex3]
Analisando a partir da linha de cima, fica fácil verificar os casos
Caso 1: [tex3]x\geq0[/tex3] e [tex3]y\geq0[/tex3]
[tex3]|x|=x[/tex3]
[tex3]|y|=y[/tex3]
[tex3]|x|.|y|= x.y[/tex3]
Satisfaz
Caso 2: [tex3]x\geq0[/tex3] e [tex3]y<0[/tex3]
[tex3]|x|=x[/tex3]
[tex3]|y|=-y[/tex3]
[tex3]|x|.|y|\geq0[/tex3] e [tex3]0>x.y[/tex3]
[tex3]|x|.|y|\geq x.y[/tex3]
Satisfaz
Caso 3: [tex3]x<0[/tex3] e [tex3]y\geq0[/tex3]
Análogo ao Caso 2.
Caso 4: [tex3]x<0[/tex3] e [tex3]y<0[/tex3]
Análogo ao Caso 1.
Portanto, a relação é verdadeira para todo [tex3]x,y\in \mathbb{R}[/tex3] .
[tex3]|x|+|y|\geq|x+y|[/tex3]
Vamos elevar ao quadrado, uma vez que, para [tex3]z>0[/tex3] , z [tex3]\in \mathbb{R}[/tex3] , a relação [tex3]z^2[/tex3] é uma relação injetora.
[tex3]|x|^2+2.|x|.|y|+|y|^2\geq x^2+2.x.y+y^2[/tex3]
Sabemos que [tex3]|x|^2=x^2, \forall x\in \mathbb{R}[/tex3] . A relação, vale para y.
[tex3]x^2+2.|x|.|y|+y^2\geq x^2+2.x.y+y^2[/tex3]
[tex3]|x|.|y|\geq x.y[/tex3]
Analisando a partir da linha de cima, fica fácil verificar os casos
Caso 1: [tex3]x\geq0[/tex3] e [tex3]y\geq0[/tex3]
[tex3]|x|=x[/tex3]
[tex3]|y|=y[/tex3]
[tex3]|x|.|y|= x.y[/tex3]
Satisfaz
Caso 2: [tex3]x\geq0[/tex3] e [tex3]y<0[/tex3]
[tex3]|x|=x[/tex3]
[tex3]|y|=-y[/tex3]
[tex3]|x|.|y|\geq0[/tex3] e [tex3]0>x.y[/tex3]
[tex3]|x|.|y|\geq x.y[/tex3]
Satisfaz
Caso 3: [tex3]x<0[/tex3] e [tex3]y\geq0[/tex3]
Análogo ao Caso 2.
Caso 4: [tex3]x<0[/tex3] e [tex3]y<0[/tex3]
Análogo ao Caso 1.
Portanto, a relação é verdadeira para todo [tex3]x,y\in \mathbb{R}[/tex3] .
Última edição: erihh3 (Dom 16 Set, 2018 16:45). Total de 1 vez.
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