Ensino Superior ⇒ Matemática discreta/demonstrações Tópico resolvido

[shazanovo]

Olá, gostaria de pedir ajuda de vcs. Meu professor passou uma lista de exercícios de demonstrações matemáticas por prova direta, porém eu estou travado em um dos exercícios. Poderia me explicar como resolver ele. Agradeço desde já.
Enunciado: Mostre que a diferença de dois quadrados perfeitos consecutivos é ímpar.
Segundo Enunciado: Mostre que para todo inteiro n e m, se n − m é par então n3 − m3 é par. [Dica: Divida (n3 − m3) por (n − m) e descubra que (n3 − m3) = (n − m)(n2 + nm + m)].
Nesse segundo caso eu tentei fazer dessa maneira: n-m=2k; multiplicado tudo por 3 nos dois lados da igualdade ficaria 3n-3m=6k. Colocando o 6k em evidência teria 2(3.k), ou seja, um inteiro vezes 2, que vai ser par. Só que no enunciado ele falou essa dica que me deixou um pouco confuso.
Terceiro Enunciado: Mostre que se x é irracional, então 1/x tbm é irracional. Nesse terceiro caso o professor falou que seria melhor usar contra-positiva.
Agradeço desde já pela ajuda

[Cardoso1979]

Mostre que a diferença de dois quadrados perfeitos consecutivos é ímpar.

Observe

Uma solução:

Assumindo que x e y sejam números quadrados perfeitos consecutivos temos que, x = k² e y = ( k + 1 )^2 , k ∈ Z. Fazendo a diferença entre y e x , vem;

y - x = ( k + 1 )^2 - k² = k² + 2k + 1 - k² = 2k + 1. Assim , y - x = 2k + 1 , k ∈ Z.

Portanto, y - x é ímpar. C.q.m.


Nota 1:

Qualquer conclusão ( para ser mais claro, todas , sem exceção ) que eu cheguei com relação a esta questão, ficará a cargo do leitor para verificar!

Nota 2:

Vou ter que ser redundante, pois tem alguns usuários que ainda não entendeu! Toda e qualquer pergunta relacionada a esta questão, ficará como exercício tanto para o autor da mesma como para qualquer outro leitor que vier a ter dúvida fiz a minha parte , façam as suas













Excelente estudo!