Ensino Superior ⇒ Integrais Duplas Tópico resolvido

[gusta3331]

Um arquiteto e um engenheiro foram contratados para desenvolver um projeto onde haveria apenas uma coluna de sustentação para um objeto triangular com vértices dados por (0, 0), (2, 0) e (0, 2), e uma densidade dada por δ (x , y) = 5 * x +3 * y .

Determine o centro de massa deste objeto sabendo que ele é dado por (x¯,y¯), onde:

[Cardoso1979]

Observe

Solução

1535227606693251115939.jpg (41.64 KiB) Exibido 610 vezes

• A massa total do objeto é dada pela integral

[tex3]M(D)=\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}\delta (x,y)dA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M(D)=\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}^{}\delta (x,y)dA[/tex3]

Então;

[tex3]M=\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2-y}(5x+3y) \ dxdy=\frac{32}{3}[/tex3]

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[tex3]M=\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2-y}(5x+3y) \ dxdy=\frac{32}{3}[/tex3]

• O momento de massa em relação ao eixo x é dado por:

[tex3]M_{x}=\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}
^{}y.\delta (x,y)dA[/tex3]

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[tex3]M_{x}=\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}
^{}y.\delta (x,y)dA[/tex3]

Então;

[tex3]M_{x}=\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2-y}(5xy+3y^2) \ dxdy=\frac{22}{3}[/tex3]

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[tex3]M_{x}=\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2-y}(5xy+3y^2) \ dxdy=\frac{22}{3}[/tex3]

• O momento de massa em relação ao eixo y é dado por:

[tex3]M_{y}=\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}
^{}x.\delta (x,y)dA[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]M_{y}=\int\limits_{}^{}\int\limits_{D}
^{}x.\delta (x,y)dA[/tex3]

Então;

[tex3]M_{y}=\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2-y}(5x^2+3xy) \ dxdy=\frac{26}{3}[/tex3]

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[tex3]M_{y}=\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{0}^{2-y}(5x^2+3xy) \ dxdy=\frac{26}{3}[/tex3]

• O centro de massa, denotado por ( [tex3]\overline{x},\overline{y}[/tex3]

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[tex3]\overline{x},\overline{y}[/tex3]

) é definido por:

[tex3]\overline{x}=\frac{M_{y}}{M} \ e \ \overline{y}=\frac{M_{x}}{M}[/tex3]

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[tex3]\overline{x}=\frac{M_{y}}{M} \ e \ \overline{y}=\frac{M_{x}}{M}[/tex3]

Substituindo, resulta ( 13/16 , 11/16 ).

Portanto, o centro de massa de D é [tex3]\left(\frac{13}{16},\frac{11}{16}\right)[/tex3]

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[tex3]\left(\frac{13}{16},\frac{11}{16}\right)[/tex3]

.


Nota

Para encontrar os limites de integração, basta olhar o gráfico , facilmente você irá perceber


Bons estudos!