Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Produto Vetorial Tópico resolvido

[lincoln1000]

Sendo [tex3]B=(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]B=(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})[/tex3]

uma base ortonormal positiva, descreva o conjunto-solução do sistema.
[tex3]\begin{cases}
\vec{x}\wedge(\vec{i}+2\vec{k})=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} \\
\vec{x}\cdot \vec{j}=1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
\vec{x}\wedge(\vec{i}+2\vec{k})=2\vec{i}+\vec{j}-\vec{k} \\
\vec{x}\cdot \vec{j}=1
\end{cases}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]S=\{(a, 1, 2a+1)_ B;a\in \mathbb{R}\}[/tex3]

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[tex3]S=\{(a, 1, 2a+1)_ B;a\in \mathbb{R}\}[/tex3]

[GFerraz]

Olá.

Seja [tex3]\vec x = a\vec i+b\vec j+c\vec k[/tex3]

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[tex3]\vec x = a\vec i+b\vec j+c\vec k[/tex3]

A segunda equação nos fornece:

[tex3]\vec x\cdot\vec j = 1[/tex3]

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[tex3]\vec x\cdot\vec j = 1[/tex3]

[tex3](a\vec i+b\vec j+c\vec k)\cdot \vec j = 1[/tex3]

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[tex3](a\vec i+b\vec j+c\vec k)\cdot \vec j = 1[/tex3]

Realizando o produto interno, vem:

[tex3]b = 1[/tex3]

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[tex3]b = 1[/tex3]

Agora vamos à primeira equação:

[tex3]\vec x~\wedge~(\vec i+2\vec k) = 2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

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[tex3]\vec x~\wedge~(\vec i+2\vec k) = 2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

[tex3](a\vec i+\vec j+c\vec k)~\wedge~(\vec i+2\vec k) = 2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

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[tex3](a\vec i+\vec j+c\vec k)~\wedge~(\vec i+2\vec k) = 2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

Aplicando a distributiva(vou simplificar para não escrever muitos \vec . Fique claro que produtos vetoriais numa mesma direção se anulam) :

[tex3](a\vec i\wedge2\vec k) + (\vec j\wedge\vec i)+(\vec j\wedge\vec 2\vec k)+(c\vec k\wedge \vec i) =2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

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[tex3](a\vec i\wedge2\vec k) + (\vec j\wedge\vec i)+(\vec j\wedge\vec 2\vec k)+(c\vec k\wedge \vec i) =2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

[tex3]-2a\vec j -\vec k + 2\vec i+c\vec j = 2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

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[tex3]-2a\vec j -\vec k + 2\vec i+c\vec j = 2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

[tex3]2\vec i + (c-2a)\vec j -\vec k = 2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

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[tex3]2\vec i + (c-2a)\vec j -\vec k = 2\vec i+\vec j-\vec k[/tex3]

Disso, [tex3]c-2a = 1\Rightarrow c = 2a+1[/tex3]

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[tex3]c-2a = 1\Rightarrow c = 2a+1[/tex3]

Assim, a solução será:

[tex3]\vec x = a\vec i+b\vec j+c\vec k = a\vec i +\vec j + (2a+1)\vec k[/tex3]

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[tex3]\vec x = a\vec i+b\vec j+c\vec k = a\vec i +\vec j + (2a+1)\vec k[/tex3]

Então, o espaço de soluções será:

[tex3]S=\{(a,1,2a+1)_B; a\in\mathbb R\}[/tex3]

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[tex3]S=\{(a,1,2a+1)_B; a\in\mathbb R\}[/tex3]

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[lincoln1000]

Muito obrigado GFerraz!