Ensino Superior ⇒ Geometria Analítica - Produto Escalar Tópico resolvido

[lincoln1000]

Sendo [tex3]\vec{u}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\vec{u}[/tex3]

e [tex3]\vec{v}[/tex3]

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[tex3]\vec{v}[/tex3]

unitários, [tex3]||\vec{w}||=4[/tex3]

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[tex3]||\vec{w}||=4[/tex3]

, [tex3]\vec{u}\cdot\vec{w}=-2[/tex3]

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[tex3]\vec{u}\cdot\vec{w}=-2[/tex3]

, [tex3]\vec{v}\cdot\vec{w}=-4[/tex3]

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[tex3]\vec{v}\cdot\vec{w}=-4[/tex3]

e [tex3]ang(\vec{u}, \vec{v})=\pi/3\ rad[/tex3]

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[tex3]ang(\vec{u}, \vec{v})=\pi/3\ rad[/tex3]

, calcule:
[tex3](\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}[/tex3]

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[tex3](\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}[/tex3]

Resposta

---

[tex3]-1/2[/tex3]

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[tex3]-1/2[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução

[tex3]cos\left(\frac{π}{3}\right)=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{||\vec{u}||.||\vec{v}||}[/tex3]

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[tex3]cos\left(\frac{π}{3}\right)=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{||\vec{u}||.||\vec{v}||}[/tex3]

Como [tex3]||\vec{u}||=1 \ e \ ||\vec{v}||=1[/tex3]

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[tex3]||\vec{u}||=1 \ e \ ||\vec{v}||=1[/tex3]

( pois são vetores unitários ), temos;

[tex3]\frac{1}{2}=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{1.1}[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}=\frac{\vec{u}.\vec{v}}{1.1}[/tex3]

Logo,

[tex3]\vec{u}.\vec{v}= \frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]\vec{u}.\vec{v}= \frac{1}{2}[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^2=1[/tex3]

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[tex3]\vec{u}.\vec{u}=||\vec{u}||^2=1[/tex3]

Então;

[tex3](\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}).\vec{u}=[/tex3]

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[tex3](\vec{u}+\vec{v}+\vec{w}).\vec{u}=[/tex3]

[tex3]\vec{u}.\vec{u}+\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}=[/tex3]

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[tex3]\vec{u}.\vec{u}+\vec{u}.\vec{v}+\vec{u}.\vec{w}=[/tex3]

[tex3]||\vec{u}||^2+ \frac{1}{2}-2= 1+\frac{1}{2}-2=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3]||\vec{u}||^2+ \frac{1}{2}-2= 1+\frac{1}{2}-2=-\frac{1}{2}[/tex3]

Portanto, [tex3](\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}=-\frac{1}{2}[/tex3]

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[tex3](\vec{u}+\vec{v}+\vec{w})\cdot\vec{u}=-\frac{1}{2}[/tex3]

Bons estudos!

[lincoln1000]

Perfeito, muito obrigado!