Ensino Superior ⇒ Dependência Linear Tópico resolvido

[bismuto]

Prove que [tex3](\vec{u}, \vec{v})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\vec{u}, \vec{v})[/tex3]

é LD [tex3]\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})[/tex3]

é LD

[undefinied3]

Não vou colocar a notação de vetor por pura preguiça

Se u e v são LD, então existem escalares a e b, não todos nulos, tais que [tex3]au+bv=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]au+bv=0[/tex3]

.
Se u v w forem LD, então existem escalares p q r, não todos nulos, tais que [tex3]pu + qv + rw=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]pu + qv + rw=0[/tex3]

.
De fato, [tex3]au+bv=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]au+bv=0[/tex3]

, basta tormar [tex3]r=0[/tex3]

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[tex3]r=0[/tex3]

e teremos [tex3]au+bv+rw=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]au+bv+rw=0[/tex3]

, ou seja, nem todos coeficientes nulos e a equação é satisfeita.

[bismuto]

Eu não sabia dessa: [tex3](\vec{u}, \vec{v})\ é\ LD\Leftrightarrow \alpha.\vec{u}+\beta.\vec{v}=0 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3](\vec{u}, \vec{v})\ é\ LD\Leftrightarrow \alpha.\vec{u}+\beta.\vec{v}=0 [/tex3]

Muito obrigado!!

[bismuto]

Isso explica também o motivo de [tex3](\vec{0}, \vec{x})[/tex3]

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[tex3](\vec{0}, \vec{x})[/tex3]

ser sempre LD, pois [tex3]a.\vec{0}+b.\vec{x}=0[/tex3]

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[tex3]a.\vec{0}+b.\vec{x}=0[/tex3]

com [tex3]a>0[/tex3]

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[tex3]a>0[/tex3]

e [tex3]b=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]b=0[/tex3]

Correto?

[undefinied3]

Explica sim. Também explica o fato de que, se dois vetores são LD, então eles são paralelos, pois [tex3]\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}=0 \iff \alpha \vec{u}=-\beta \vec{v} \rightarrow \vec{u'}=-\vec{v'}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\alpha \vec{u}+\beta \vec{v}=0 \iff \alpha \vec{u}=-\beta \vec{v} \rightarrow \vec{u'}=-\vec{v'}[/tex3]

, e outras coisas.

O problema que você propôs no tópico é facilmente generalizável como você deve ter percebido. Se n vetores são LD, colocar mais quantos você quiser vai continuar sendo LD.

[bismuto]

Perfeito, muito obrigado undefinied3