Observe
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{sen \ x + cos \ x}dx[/tex3]
Esse tipo de questão não é tão comum! Mais vamos lá!
Solução
Lembrando que;
[tex3]sen \ x=\frac{2tg\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg²\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]
e
[tex3]cos \ x=\frac{1-tg^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg²\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]
Fazendo y = tg (x/2) → dy = (1/2).sec² (x/2) dx → 2 dy = sec² (x/2) dx → 2 dy = [ 1 + tg² (x/2) ] dx → 2 dy = ( 1 + y² ) dx → [tex3]dx=\frac{
2dy}{1+y²}[/tex3]
Então;
[tex3]sen \ x=\frac{2y}{1+y^2}[/tex3]
e
[tex3]cos \ x=\frac{1-y^2}{1+y^2}[/tex3]
Daí;
[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\frac{2dy}{ \cancel{1+y²}}}{\frac{2y}{\cancel{1+y^2} }+\frac{1-y^2}{ \cancel{1+y^2}}}dy=[/tex3]
[tex3]2\int\limits_{}^{}\frac{1}{-y^2+2y+1}dy=[/tex3]
[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{y^2-2y-1}dy=[/tex3]
Obs. Do jeito que está aí ( a expressão acima ), você poderia aplicar a integração de funções racionais ( integração de frações parciais ), porém , vamos usar o seguinte "atalho", acompanhe comigo.
[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{y^2-2y+1-2}dy=[/tex3]
[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{(y-1)^2-(\sqrt{2})^2}dy=[/tex3]
Como [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}.ln \ |\frac{x-a}{x+a}|+C[/tex3]
Assim;
[tex3]=-\frac{2}{2\sqrt{2}}.ln \ |\frac{(y-1)-\sqrt{2}}{(y-1)+\sqrt{2}}|+k=[/tex3]
Logo,
[tex3]=-\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{y-1-\sqrt{2}}{y-1+\sqrt{2}}|+k[/tex3]
Ou
[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{y-1+\sqrt{2}}{y-1-\sqrt{2}}|+k[/tex3]
Mas, y = tg (x/2)
Portanto,
[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1+\sqrt{2}}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1-\sqrt{2}}|+k[/tex3]
Obs. Acho pouco provável a resposta que eu encontrei ser igual a sua, vou nem tentar... suponho que o gabarito que você postou esteja equivocado!
Opa!!! Olha só o que eu encontrei no livro do Guidorizzi.
Exercícios 12.11 a questão 2.
- 15320416592532080036652.jpg (56.53 KiB) Exibido 329 vezes
Gabarito
- 15320418245981636600651.jpg (63.94 KiB) Exibido 329 vezes
Ou seja , tanto a minha resposta como a do Guidorizzi ambas estão corretas!
Yes!!!!
Bons estudos!