Ensino Superior ⇒ Integral Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:19961)]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{sen x +cosx}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{sen x +cosx}[/tex3]

Resposta

---

GABARITO: [tex3]\sec x-\ln|\cotg x + \cossec x|+k[/tex3]

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[tex3]\sec x-\ln|\cotg x + \cossec x|+k[/tex3]

sendo [tex3]k[/tex3]

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[tex3]k[/tex3]

uma constante

[Cardoso1979]

Observe

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{sen \ x + cos \ x}dx[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{sen \ x + cos \ x}dx[/tex3]

Esse tipo de questão não é tão comum! Mais vamos lá!

Solução

Lembrando que;

[tex3]sen \ x=\frac{2tg\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg²\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

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[tex3]sen \ x=\frac{2tg\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg²\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

e

[tex3]cos \ x=\frac{1-tg^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg²\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

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[tex3]cos \ x=\frac{1-tg^2\left(\frac{x}{2}\right)}{1+tg²\left(\frac{x}{2}\right)}[/tex3]

Fazendo y = tg (x/2) → dy = (1/2).sec² (x/2) dx → 2 dy = sec² (x/2) dx → 2 dy = [ 1 + tg² (x/2) ] dx → 2 dy = ( 1 + y² ) dx → [tex3]dx=\frac{
2dy}{1+y²}[/tex3]

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[tex3]dx=\frac{
2dy}{1+y²}[/tex3]

Então;

[tex3]sen \ x=\frac{2y}{1+y^2}[/tex3]

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[tex3]sen \ x=\frac{2y}{1+y^2}[/tex3]

e

[tex3]cos \ x=\frac{1-y^2}{1+y^2}[/tex3]

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[tex3]cos \ x=\frac{1-y^2}{1+y^2}[/tex3]

Daí;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\frac{2dy}{ \cancel{1+y²}}}{\frac{2y}{\cancel{1+y^2} }+\frac{1-y^2}{ \cancel{1+y^2}}}dy=[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{\frac{2dy}{ \cancel{1+y²}}}{\frac{2y}{\cancel{1+y^2} }+\frac{1-y^2}{ \cancel{1+y^2}}}dy=[/tex3]

[tex3]2\int\limits_{}^{}\frac{1}{-y^2+2y+1}dy=[/tex3]

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[tex3]2\int\limits_{}^{}\frac{1}{-y^2+2y+1}dy=[/tex3]

[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{y^2-2y-1}dy=[/tex3]

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[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{y^2-2y-1}dy=[/tex3]

Obs. Do jeito que está aí ( a expressão acima ), você poderia aplicar a integração de funções racionais ( integração de frações parciais ), porém , vamos usar o seguinte "atalho", acompanhe comigo.

[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{y^2-2y+1-2}dy=[/tex3]

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[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{y^2-2y+1-2}dy=[/tex3]

[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{(y-1)^2-(\sqrt{2})^2}dy=[/tex3]

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[tex3]-2\int\limits_{}^{}\frac{1}{(y-1)^2-(\sqrt{2})^2}dy=[/tex3]

Como [tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}.ln \ |\frac{x-a}{x+a}|+C[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2-a^2}dx=\frac{1}{2a}.ln \ |\frac{x-a}{x+a}|+C[/tex3]

Assim;

[tex3]=-\frac{2}{2\sqrt{2}}.ln \ |\frac{(y-1)-\sqrt{2}}{(y-1)+\sqrt{2}}|+k=[/tex3]

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[tex3]=-\frac{2}{2\sqrt{2}}.ln \ |\frac{(y-1)-\sqrt{2}}{(y-1)+\sqrt{2}}|+k=[/tex3]

Logo,

[tex3]=-\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{y-1-\sqrt{2}}{y-1+\sqrt{2}}|+k[/tex3]

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[tex3]=-\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{y-1-\sqrt{2}}{y-1+\sqrt{2}}|+k[/tex3]

Ou

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{y-1+\sqrt{2}}{y-1-\sqrt{2}}|+k[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{y-1+\sqrt{2}}{y-1-\sqrt{2}}|+k[/tex3]

Mas, y = tg (x/2)

Portanto,

[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1+\sqrt{2}}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1-\sqrt{2}}|+k[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}.ln \ |\frac{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1+\sqrt{2}}{tg\left(\frac{x}{2}\right)-1-\sqrt{2}}|+k[/tex3]

Obs. Acho pouco provável a resposta que eu encontrei ser igual a sua, vou nem tentar... suponho que o gabarito que você postou esteja equivocado!

Opa!!! Olha só o que eu encontrei no livro do Guidorizzi.

Exercícios 12.11 a questão 2.

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Gabarito

15320418245981636600651.jpg (63.94 KiB) Exibido 328 vezes

Ou seja , tanto a minha resposta como a do Guidorizzi ambas estão corretas!

Yes!!!!



Bons estudos!