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Solução
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Fazendo a mudança de variáveis, temos que:
[tex3]\begin{cases}
x=u^2 \\
y=v
\end{cases}[/tex3]
Então;
[tex3]\frac{\partial(x,y) }{\partial (u,v)}= \left| \begin{array}{rcr}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x }{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y }{\partial v} \\
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{rcr}
\ 2u & 0 \\
\ 0 & 1 \\
\end{array} \right|=2u[/tex3]
Logo;
[tex3]dxdy = \left| \begin{array}{rcr}
\ \frac{{\partial(x,y) }}{{\partial(u,v) }}\\ \end{array} \right|dvdu=2u \ dvdu [/tex3]
Por outro lado,
0 ≤ x ≤ 1 → 0 ≤ u ≤ 1
e
0 ≤ y ≤ √x → 0 ≤ v ≤ u
Assim;
[tex3]2\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{u}\frac{u.sen(u+v)}{u}dvdu=[/tex3]
[tex3]2\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{u}sen(u+v)dvdu=[/tex3]
[tex3]-2\int\limits_{0}^{1}[cos(u+v)]_{0}^{u}du=[/tex3]
[tex3]-2\int\limits_{0}^{1}[cos(2u)-cos(u)]du=[/tex3]
[tex3]-2.[\frac{1}{2}sen(2u)-sen(u)]_{0}^{1}=-2.[\frac{1}{2}.sen(2)-sen(1)]=[/tex3]
= - sen (2) + 2sen (1)
Portanto, 2sen ( 1 ) - sen ( 2 ).
Nota
Como exercício, ficará para você fazer o gráfico da inversa, já que houve mudança de variáveis.
Bons estudos!
