Ensino Superior ⇒ Integral dupla com mudança de variavel!Ajuuuda Tópico resolvido

[danilct]

Utilize a mudança de variavel x=[tex3]\sqrt{u}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{u}[/tex3]

e y=v para calcular a dupla integral:
[tex3]\int\limits_{R}^{}xe^(x^2+y)dxdy[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{R}^{}xe^(x^2+y)dxdy[/tex3]

em que R é a região do primeiro quadrante limitada pela parabola y=1-x^2 e pelas retas x=0 e y=0
RESP= 1/2

[Cardoso1979]

Observe

[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}x.e^{x^2+y}dxdy[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\int\limits_{R}^{}x.e^{x^2+y}dxdy[/tex3]

Solução

1531926956339769294774.jpg (38.67 KiB) Exibido 773 vezes

Fazendo a mudança de variáveis, temos que;

[tex3]\begin{cases}
x=\sqrt{u} \\
y=v
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
x=\sqrt{u} \\
y=v
\end{cases}[/tex3]

Então;

[tex3]\frac{\partial(x,y) }{\partial (u,v)}= \left| \begin{array}{rcr}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x }{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y }{\partial v} \\
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{rcr}
\ \frac{\sqrt{u}}{2u} & 0 \\
\ 0 & 1 \\
\end{array} \right|=\frac{\sqrt{u}}{2u}[/tex3]

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[tex3]\frac{\partial(x,y) }{\partial (u,v)}= \left| \begin{array}{rcr}
\frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x }{\partial v} \\
\frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y }{\partial v} \\
\end{array} \right| = \left| \begin{array}{rcr}
\ \frac{\sqrt{u}}{2u} & 0 \\
\ 0 & 1 \\
\end{array} \right|=\frac{\sqrt{u}}{2u}[/tex3]

Logo,

[tex3]dxdy = \left| \begin{array}{rcr}
\ \frac{{\partial(x,y) }}{{\partial(u,v) }}\\ \end{array} \right|dvdu=\frac{\sqrt{u}}{2u} \ dvdu [/tex3]

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[tex3]dxdy = \left| \begin{array}{rcr}
\ \frac{{\partial(x,y) }}{{\partial(u,v) }}\\ \end{array} \right|dvdu=\frac{\sqrt{u}}{2u} \ dvdu [/tex3]

Por outro lado,

0 ≤ x ≤ 1( primeiro quadrante, ver figura )) → 0 ≤ u ≤ 1

e

0 ≤ y ≤ 1 - x² ( primeiro quadrante, ver figura ) → 0 ≤ v ≤ 1 - u

Assim;

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-u}\frac{\sqrt{u}.\sqrt{u}.e^{u+v}}{u}dvdu=[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-u}\frac{\sqrt{u}.\sqrt{u}.e^{u+v}}{u}dvdu=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-u}e^{u+v}dvdu=[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-u}e^{u+v}dvdu=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}[e^{u+v}]_{0}^{1-u}du=[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}[e^{u+v}]_{0}^{1-u}du=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(e-e^{u})du=[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(e-e^{u})du=[/tex3]

[tex3]\frac{1}{2}.[u.e-e^{u}]_{0}^{1}=[/tex3]

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[tex3]\frac{1}{2}.[u.e-e^{u}]_{0}^{1}=[/tex3]

= ( 1/2 ).( e - e + 1 ) = 1/2


Portanto, o valor da integral dupla dada é 1/2.

Nota

Mais uma vez , deixo como exercício para você desenhar o gráfico da inversa , já que houve mudança de variáveis!

Bons estudos!