Ensino Superior

[tex3]\int\limits_{}^{} \frac{x²}{\sqrt{3-2x²}}dx[/tex3]

Resposta

GABARITO: [tex3]\frac{3}{4\sqrt{2}}\[\arcsen \left(\frac{\sqrt{\frac{2}{3}}}{b}x\right)- \frac{x\sqrt{6-4x²}}{3}\]+k[/tex3] sendo [tex3]k[/tex3] uma constante

Observe

Solução

Usando substituição trigonométrica, temos que:

[tex3]x=\sqrt{\frac{3}{2}}\sen \ u→dx=\sqrt{\frac{3}{2}}\cos \ u \ du[/tex3]

Por outro lado,

[tex3]x=\sqrt{\frac{3}{2}}\sen \ u→x^2=\frac{3}{2}.\sen ^2 \ u[/tex3]

Ainda;

[tex3]x=\sqrt{\frac{3}{2}}\sen \ u →\sen \ u=\sqrt{\frac{2}{3}}x \ ( I )⟺ u=\arcsen \ \begin{pmatrix}\sqrt{\frac{2}{3}}x\end{pmatrix}(II)[/tex3]

Então;

[tex3]\frac{3}{2}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \int\limits_{}^{}\frac{\sen ^2(u)\cdot \cos (u)}{\sqrt{3-3\sen ^2u}}du=[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \int\limits_{}^{}\frac{\sen ^2(u)\cdot \cos (u)}{\sqrt{3\cdot (1-\sen ^2u)}}du=[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}\cdot \int\limits_{}^{}\frac{\sen ^2(u)\cdot \cos (u)}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{\cos ^2u}}du=[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2\sqrt{{2}}}\cdot \int\limits_{}^{}\frac{\sen ^2(u)\cdot \cos (u)}{|\cos \ u|}du=[/tex3]

Obs.1•

[tex3]| \cos u | = \cos u[/tex3] , pois , [tex3]\cos u > 0[/tex3] [tex3]\( - \frac{\pi}{2} < u < \frac{\pi}{2} \)[/tex3] ( guarde essa informação para usar mais a frente )

Daí;

[tex3]\frac{3}{2\sqrt{{2}}}\cdot \int\limits_{}^{}\frac{\sen ^2(u)\cdot \cos (u)}{\cos \ u}du=[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2\sqrt{{2}}}\cdot \int\limits_{}^{}\sen ^2(u) \ du=[/tex3]

Obs.2•

[tex3]\sen^2 u = \(\frac12\) - \(\frac12\)\cdot \cos (2u)[/tex3]

Temos que;

[tex3]\frac{3}{2\sqrt{{2}}}\cdot \int\limits \[\frac{1}{2} + \frac{1}{2}\cdot \cos (2u)\] \ du=[/tex3]

Logo;

[tex3]\frac{3}{2\sqrt{2}}\[\frac{u}{2}-\frac{1}{4}\sen (2u)\] + k[/tex3] ( l l l )

Obs.3•

[tex3]\sen^2 (u) + \cos^2 (u) = 1[/tex3]

Como [tex3]\sen \ u=\sqrt{\frac{2}{3}}x [/tex3]
( veja I )

Então;

[tex3]\cos (u) = \pm \sqrt{\frac{3-2x^2}{3}}[/tex3]

Lembra daquele dado que eu lhe pedi para você "guardar", logo;

[tex3]\cos (u) = \sqrt{\frac{3-2x^2}{3}}[/tex3] ( lV )

Obs.4 •

[tex3]\sen (2u) = 2\cdot \sen (u)\cdot \cos (u)[/tex3]

Substituindo ( l ) , ( l l ) e ( lV ) em ( l l l ), vem;

[tex3]\frac{3}{2\sqrt{2}}\[\frac{\arcsen \ \begin{pmatrix}\sqrt{\frac{2}{3}}x\end{pmatrix}}{2}-\frac{1}{4}\cdot 2\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}x\cdot \sqrt{\frac{3-2x^2}{3}}\] + k=[/tex3]

[tex3]\frac{3}{2\sqrt{2}}\[\frac{\arcsen \ \begin{pmatrix}\sqrt{\frac{2}{3}}x\end{pmatrix}}{2}-\frac{x}{2\cdot 3}\cdot \sqrt{6-4x^2}\] + k=[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{3}{4\sqrt{2}}\[ \arcsen \ \begin{pmatrix}\sqrt{\frac{2}{3}}x\end{pmatrix}-\frac{x\cdot \sqrt{6-4x^2}}{3}\] + k[/tex3]

Nota

Existem outras maneiras de repre\sen tar essa mesma solução , veja mais uma;

[tex3]\frac{3}{4\sqrt{2}}\cdot \arcsen \ \begin{pmatrix}\sqrt{\frac{2}{3}}x\end{pmatrix}-\frac{x\cdot \sqrt{3-2x^2}}{4}+ k[/tex3]

Bons estudos!

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