Ensino Superior

Um tanque, com volume de 0,1m3, está conectado a uma linha de ar de alta pressão (linha de ar comprimido); tanto a linha quanto o tanque estão inicialmente a uma temperatura uniforme de 20°C. A pressão manométrica inicial no tanque é 100kPa. A pressão absoluta na linha de ar é 20 MPa; a linha é suficientemente grande, de forma que a temperatura e a pressão do ar comprimido podem ser consideradas constantes. A temperatura no tanque é monitorada por um termopar de resposta rápida. Imediatamente após a abertura da válvula, a temperatura do ar no tanque sobe à taxa de 0,05°C/s. Determine a vazão em massa (g/s) instantânea de ar entrando no tanque se a transferência de calor for desprezível.

Resposta

0,102 g/s

Dados: ∆u = Cv∆T (energia interna específica)
Cv = 717 N.m/kg.K (capacidade calorífica a volume constante do ar)

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Observe

Solução

Considerações:

1) Q = 0 ( foi dado ) ;
2) Ws = 0 ;
3) Wcis = 0 ;
4) Woutros = 0 ;
5) As velocidades na linha e no tanque são pequenas;
6) Energia potencial é desprezível z [tex3]_{1}[/tex3] =z [tex3]_{2}[/tex3] ;
7) Escoamento uniforme na entrada do tanque;
8 ) Propriedades uniformes no tanque ;
9) Gás ideal, P = [tex3]\rho \overline{R}T[/tex3] , du = C [tex3]_{v}[/tex3] dT

Daí;

[tex3]Q-W_{s}-W_{cisalhamento}-W_{outros}= \frac{\partial }{\partial t}\int\limits_{VC}^{}e\rho dV+\int\limits_{SC}^{}( u + \frac{v^2}{2} + gz + \frac{P}{\rho })\rho \vec{v}.d\vec{A}[/tex3]

Obs.1•
Q = 0 ( por 1 )
Ws = 0 ( por 2 )
Wcis = 0 ( por 3 )
Woutros = 0 ( por 4 )
v ≈ 0 ( por 5 )
gz = 0 ( por 6 )

e

e = u + ( v²/2 ) + gz

v ≈ 0 ( por 5 )
gz = 0 ( por 6 )

Então;

[tex3]0= \frac{\partial }{\partial t}\int\limits_{VC}^{}u\rho dV+\int\limits_{SC}^{}( u + \frac{P}{\rho })\rho \vec{v}.d\vec{A}[/tex3]

[tex3]0= \frac{\partial }{\partial t}\int\limits_{VC}^{}u\rho dV+(u +\overline{R}T)( -\rho vA) [/tex3]

Obs.2•
[tex3]\overline{R}T[/tex3] ( gás ideal ) e [tex3]-\rho vA[/tex3] ( fluxo de entrada )

Uma vez que as propriedades no tanque são uniformes, temos:

[tex3]0 = \frac{d(u\rho V) }{dt}+(u+\overline{R}T)(-m)[/tex3]

Como [tex3]\rho [/tex3] V = M, vem;

[tex3]\frac{d(uM) }{dt}=(u+\overline{R}T)m [/tex3]

Obs.3
m = [tex3]\rho [/tex3] vA( vazão mássica ) ;
M é a massa instantânea no tanque

Então;

[tex3]\frac{d(uM) }{dt}=(u+\overline{R}T)m [/tex3]

[tex3]u\frac{dM}{dt}+M\frac{du}{dt}=um + \overline{R}Tm[/tex3] ( I )

O termo dM/dt pode ser avaliado pela equação da conservação da massa.

[tex3]\frac{\partial }{\partial t}\int\limits_{VC}^{}\rho dV+\int\limits_{SC}^{}\rho\vec{v}.d\vec{A}=0[/tex3]

[tex3]\frac{\partial(\rho V) }{\partial t}+(-\rho vA)=0[/tex3]

[tex3]\frac{dM}{dt}=\rho vA=m[/tex3] ( I I )

Substituindo ( l l ) em ( l ), temos:

[tex3]um+M\frac{du}{dt}=um+\overline{R}Tm[/tex3]

Obs.4
[tex3]du=C_{v}dT[/tex3] ( gás ideal ) ;

[tex3]C_{v}=717\frac{N.m}{kg.K}(ar)[/tex3]
e
[tex3]\overline{R}=287\frac{N.m}{kg.K}(ar)[/tex3]

Então;

[tex3]um+MC_{v}\frac{dT}{dt}=um+\overline{R}Tm[/tex3]

[tex3]m=\frac{MC_{v}(\frac{dT}{dt})}{\overline{R}T}=\frac{\rho VC_{v}(\frac{dT}{dt})}{\overline{R}T}[/tex3]

Logo;

[tex3]m=\frac{\rho VC_{v}(\frac{dT}{dt})}{\overline{R}T}[/tex3] , onde dT/dt = 0,05°C/s ( foi dado )

Ainda;

[tex3]\rho(tanque)=\frac{P_{tanque}}{\overline{R}T}=\frac{P_{man}+P_{atm}}{\overline{R}T}=\frac{(100+101,3).10^3\frac{N}{m^2}}{(287\frac{N.m}{kg.K})(20+273,15)K} =\frac{201300}{84134,05}=2,39kg/m^3[/tex3]

[tex3]\rho_{tanque} [/tex3] = 2,39 kg/m³

Assim,

[tex3]m = 2,39\frac{kg}{m^3}×0,1m^3×717\frac{N.m}{kg.K}×0,05\frac{K}{s}×\frac{kg.K}{287N.m}×\frac{1}{293K}×1000\frac{g}{kg}[/tex3]

[tex3]m=\frac{8568,15}{84091}\frac{g}{s}= 0,1018g/s[/tex3]

Portanto, a vazão em massa instantânea de ar entrando no tanque é m ≈ 0,102 g/s.

Nota
Mais uma vez, trata-se de um problema que ilustra o uso da primeira lei da termodinâmica para VC( volume de controle ). É, também , um exemplo do cuidado que se deve ter com as conversões de unidades.

Bons estudos!

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