Ensino Superior

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{-x}cos2xdx[/tex3]

Gabarito: [tex3]\frac{e^{-x}}{5}(2sen2x-cos2x)+k[/tex3]
Sendo k uma constante

Observe

Solução

[tex3]\int\limits_{}^{}cos (2x).e^{-x}dx[/tex3]

Usando integrais por partes, temos que;

u = cos (2x) → du = - 2sen (2x) dx

[tex3]dv=e^{-x}dx→\int\limits_{}^{}1dv=\int\limits_{}^{}e^{-x}dx→v = - e^{-x}[/tex3]

Então;

[tex3]\int\limits_{}^{}u \ dv=u.v-\int\limits_{}^{}v \ du[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx=-e^{-x}.cos(2x)-2.\int\limits_{}^{}e^{-x}.sen(2x)dx[/tex3] ( l )

Para resolver a integral [tex3]\int\limits_{}^{}e^{-x}.sen(2x)dx[/tex3] , usaremos novamente integral por partes, vem;

u = sen (2x) → du = 2cos (2x) dx

[tex3]dv=e^{-x}dx→\int\limits_{}^{}1dv=\int\limits_{}^{}e^{-x}dx→v = - e^{-x}[/tex3]

Daí;

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{-x}.sen(2x)dx=-e^{-x}.sen(2x)+2.\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx[/tex3] ( l l )

Substituindo ( l l ) em ( l ), fica;

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx=-e^{-x}.cos(2x)-2.[-e^{-x}.sen(2x)+2.\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx]+ k[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx=-e^{-x}.cos(2x)+2e^{-x}.sen(2x)-4.\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx+ k[/tex3]

[tex3]4.\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx + 1.\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx=e^{-x}.[ 2.sen(2x)-cos(2x)]+k[/tex3]

Portanto,

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{-x}.cos(2x)dx=\frac{e^{-x}}{5}.[ 2.sen(2x)-cos(2x)]+k[/tex3]

Bons estudos!

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