Ensino Superior ⇒ Integrais Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:19961)]

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{x^{2}(x^{2}+x+1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{dx}{x^{2}(x^{2}+x+1)}[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução

Usando frações parciais( não me leve a mal, mais é sempre bom dar uma lida nessa parte de cálculo onde fala de primitivas de funções racionais, lá tem vários teoremas, um bom livro é o do Guidorizzi , infelizmente eu não tenho em pdf) temos que;

[tex3]\frac{1}{x^2.(x^2+x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2.(x^2+x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{Cx+D}{x^2+x+1}[/tex3]

( l )

O segredo aqui é determinarmos os valores das constantes A , B , C e D. Então;

[tex3]\frac{1}{x^2.(x^2+x+1)}=\frac{Ax.(x^2+x+1)+B(x^2+x+1)+Cx.x^2+Dx^2}{x^2.(x^2+x+1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2.(x^2+x+1)}=\frac{Ax.(x^2+x+1)+B(x^2+x+1)+Cx.x^2+Dx^2}{x^2.(x^2+x+1)}[/tex3]

Obs. O mmc de x , x² e x² + x + 1 é x².( x² + x + 1 )

[tex3]\frac{1}{x^2.(x^2+x+1)}=\frac{Ax^3+Ax^2+Ax+Bx^2+Bx+B+Cx^3+Dx^2}{x^2.(x^2+x+1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2.(x^2+x+1)}=\frac{Ax^3+Ax^2+Ax+Bx^2+Bx+B+Cx^3+Dx^2}{x^2.(x^2+x+1)}[/tex3]

[tex3]\frac{0.x^3+0.x^2+0.x+1}{x^2.(x^2+x+1)}=\frac{(A+C).x^3+(A+B+D).x^2+(A+B).x+B}{x^2.(x^2+x+1)}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{0.x^3+0.x^2+0.x+1}{x^2.(x^2+x+1)}=\frac{(A+C).x^3+(A+B+D).x^2+(A+B).x+B}{x^2.(x^2+x+1)}[/tex3]

Comparando os termos e igualando os coeficientes, montamos o seguinte sistema;

[tex3]\begin{cases}
A+C=0 →C=1\\
A+B+D=0→D=0 \\
A+B=0 →A=-1\\
B=1
\end{cases}[/tex3]

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[tex3]\begin{cases}
A+C=0 →C=1\\
A+B+D=0→D=0 \\
A+B=0 →A=-1\\
B=1
\end{cases}[/tex3]

Substituindo os valores das constantes A, B , C e D em ( l ), vem;

[tex3]\frac{1}{x^2.(x^2+x+1)}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1.x+0}{x^2+x+1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{x^2.(x^2+x+1)}=-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{1.x+0}{x^2+x+1}[/tex3]

Logo;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2.(x^2+x+1
)}dx=\int\limits_{}^{}(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{x}{x^2+x+1})dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2.(x^2+x+1
)}dx=\int\limits_{}^{}(-\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+\frac{x}{x^2+x+1})dx=[/tex3]

Vamos desmembrar a integral acima em três, fica;

[tex3]=-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2}dx+\int\limits_{}^{}\frac{x}{x^2+x+1}dx=[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]=-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx+\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2}dx+\int\limits_{}^{}\frac{x}{x^2+x+1}dx=[/tex3]

A primeira e a segunda integral é bem tranquila, temos;

[tex3]-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx=- ln |x| + c[/tex3]

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[tex3]-\int\limits_{}^{}\frac{1}{x}dx=- ln |x| + c[/tex3]

( 1 )

e

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2}dx=- \frac{1}{x} + c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2}dx=- \frac{1}{x} + c[/tex3]

( 2 )

Agora vamos resolver a terceira integral, temos:

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{x^2+x+1}dx=[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{x^2+x+1}dx=[/tex3]

Perceba que x² + x + 1 = x² + x + (1/4) + (3/4) = [tex3]\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/tex3]

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[tex3]\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}[/tex3]

Daí;


[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx=[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{x}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}}dx=[/tex3]

Fazendo a substituição u = x + (1/2) → du = dx e x = u - ( 1/2 ) , então;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{u-\frac{1}{2}}{u^2+\frac{3}{4}}du=[/tex3]

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[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{u-\frac{1}{2}}{u^2+\frac{3}{4}}du=[/tex3]

Vamos desmembrar a integral acima em duas, fica;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{u}{\frac{3}{4}+u^2}du-\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{\frac{3}{4}+u^2}du =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{u}{\frac{3}{4}+u^2}du-\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{\frac{3}{4}+u^2}du =[/tex3]

Resolvendo a primeira integral, temos;

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{u}{\frac{3}{4}+u^2}du =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{u}{\frac{3}{4}+u^2}du =[/tex3]

Chamando t = u² + (3/4) → dt = 2u du → u du = dt/2

Daí;

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{t}dt= \frac{1}{2}.ln | t |+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{t}dt= \frac{1}{2}.ln | t |+c[/tex3]

, como t = u² + (3/4), resulta;

[tex3]\frac{1}{2}.ln|u^2+\frac{3}{4}|+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{2}.ln|u^2+\frac{3}{4}|+c[/tex3]

Mas, u = x + ( 1/2 ) , ou seja , ( 1/2 ).ln | x² + x + 1 | + c ( 3 )


Agora vamos resolver a temida integral abaixo( segunda integral ):

[tex3]-\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{\frac{3}{4}+u^2}du =[/tex3]

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[tex3]-\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{\frac{3}{4}+u^2}du =[/tex3]

[tex3]-\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{4}{3(1+\frac{4u^2}{3})}du =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{1}{2}.\int\limits_{}^{}\frac{4}{3(1+\frac{4u^2}{3})}du =[/tex3]

[tex3]-\frac{2}{3}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+(\frac{2u}{\sqrt{3}})^2}du =[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]-\frac{2}{3}.\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+(\frac{2u}{\sqrt{3}})^2}du =[/tex3]

Fazendo [tex3]s=\frac{2u}{\sqrt{3}}→ds=\frac{2}{\sqrt{3}}du \ ou \ du = \frac{\sqrt{3}}{2}ds[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]s=\frac{2u}{\sqrt{3}}→ds=\frac{2}{\sqrt{3}}du \ ou \ du = \frac{\sqrt{3}}{2}ds[/tex3]

Então;

[tex3]-\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+s^2}ds=- \frac{\sqrt{3}}{3}.arctg \ (s)+c[/tex3]

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[tex3]-\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}\int\limits_{}^{}\frac{1}{1+s^2}ds=- \frac{\sqrt{3}}{3}.arctg \ (s)+c[/tex3]

Como s = 2u/√3 , fica;

[tex3]- \frac{\sqrt{3}}{3}.arctg \ \left(\frac{2u}{\sqrt{3}}\right)+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]- \frac{\sqrt{3}}{3}.arctg \ \left(\frac{2u}{\sqrt{3}}\right)+c[/tex3]

Mas , u = x + (1/2) , então ;

[tex3]- \frac{\sqrt{3}}{3}.arctg \ \left(\frac{
2x+1}{\sqrt{3}}\right)+c[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]- \frac{\sqrt{3}}{3}.arctg \ \left(\frac{
2x+1}{\sqrt{3}}\right)+c[/tex3]

( 4 )


Juntando os resultados ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) e ( 4 ) , resulta;

- ln |x| - ( 1/x ) + ( 1/2 ).ln | x² + x + 1 | - [(√3)/3].arctg [ (2x+1)/√3 ] + C

Uuuuuufa!

Portanto,

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2.(x^2+x+1
)}dx= - ln \ |x| - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}.ln \ |x^2+x+1| - \frac{\sqrt{3}}{3}.arctg \ \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\int\limits_{}^{}\frac{1}{x^2.(x^2+x+1
)}dx= - ln \ |x| - \frac{1}{x} + \frac{1}{2}.ln \ |x^2+x+1| - \frac{\sqrt{3}}{3}.arctg \ \left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right) + C [/tex3]

Muito "elegante" essa resposta!

Bons estudos!

[Auto Excluído (ID:19961)]

Nossa, obrigada mesmo.

As duas primeiras integrais resolvi sem problemas, mas quando chegou a terceira não sabia pra onde ir

Obrigada, novamente!