Ensino Superior

[tex3]\int\limits_{}^{} e^{ax}sen bx dx[/tex3]
a [tex3]\neq [/tex3] 0, b [tex3]\neq [/tex3] 0

Gabarito: [tex3]\frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}[/tex3] (a*sen bx - b*cos bx) + K

Observe

Solução

[tex3]\int\limits_{}^{}sen(bx).e^{ax}dx[/tex3]

Utilizando integrais por partes( existe outra maneira, porém não me recordo mais ), temos que;

[tex3]\int\limits_{}^{}u \ dv=u.v-\int\limits_{}^{}v \ du[/tex3]

Obs. Neste caso, tanto faz eu "chamar" u = sen (bx) como u = e [tex3]^{ax}[/tex3] , vou ficar com a primeira opção, então;

u = sen (bx) → du = b.cos (bx) dx

dv = e [tex3]^{ax}[/tex3] dx → [tex3]\int\limits_{}^{}1 \ dv= \int\limits_{}^{}e^{ax}dx→v = \frac{e^{ax}}{a}[/tex3]

Voltemos a integral, vem;

[tex3]\int\limits_{}^{}u \ dv=u.v-\int\limits_{}^{}v \ du[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{ax}.sen \ (bx) \ dx = sen(bx).\frac{e^{ax}}{a}-\int\limits_{}^{}\frac{e^{ax}}{a}.bcos (bx)dx[/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{ax}.sen \ (bx) \ dx = \frac{e^{ax}}{a}.sen(bx)- \frac{b}{a}\int\limits_{}^{}e^{ax}.cos (bx)dx \ ( I )[/tex3]

Para resolver esta integral [tex3]\int\limits_{}^{}e^{ax}.cos (bx)dx[/tex3] , utilizaremos o mesmo processo acima, temos

u = cos (bx) → du = - b.sen (bx) dx

dv = e [tex3]^{ax}[/tex3] dx → [tex3]\int\limits_{}^{}1 \ dv= \int\limits_{}^{}e^{ax}dx→v = \frac{e^{ax}}{a}[/tex3]

Novamente voltemos a integral, ou melhor , vamos substituir em ( l ), fica;

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{ax}.sen \ (bx) \ dx = \frac{e^{ax}}{a}.sen(bx)-\frac{b}{a}[cos(bx).\frac{e^{ax}}{a}+\int\limits_{}^{} \frac{e^{ax}}{a}.bsen (bx)dx ][/tex3]

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{ax}.sen \ (bx) \ dx = \frac{e^{ax}}{a}.sen(bx)-\frac{e^{ax}.b}{a^2}.cos(bx)-\frac{b^2}{a^2}.\int\limits_{}^{
} e^{ax}.sen (bx)dx [/tex3]

[tex3]\frac{b^2}{a^2}.\int\limits_{}^{}e^{ax}.sen(bx) \ dx + \int\limits_{}^{}e^{ax}.sen \ (bx) \ dx =\frac{e^{ax}.a.sen(bx)-e^{ax}.b.cos(bx)}{a^2} [/tex3]

[tex3]\frac{a^2+b^2}{a^2}.\int\limits_{}^{}e^{ax}.sen(bx) \ dx =\frac{e^{ax}.a.sen(bx)-e^{ax}.b.cos(bx)}{a^2} [/tex3]

Portanto,

[tex3]\int\limits_{}^{}e^{ax}.sen(bx) \ dx =\frac{e^{ax}}{a^2+b^2}.[asen(bx)-bcos(bx)]+ K[/tex3]

Bons estudos!

Ensino Superior ⇒ Integrais Tópico resolvido

Integrais

Re: Integrais

Ensino Superior ⇒ Integrais Tópico resolvido

Integrais

Re: Integrais

Entrar • Registrar