[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\sqrt[2]{1+x^{2}}[/tex3]
Gabarito: [tex3]\frac{1}{2}[/tex3]
*sec [tex3]\theta [/tex3]
*tg [tex3]\theta + \frac{1}{2}[/tex3]
*ln|sen [tex3]\theta [/tex3]
+ tg [tex3]\theta [/tex3]
|
Ensino Superior ⇒ Integrais Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
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Cardoso1979 
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Jul 2018
14
13:17
Re: Integrais
Observe
Solução
Utilizando substituição trigonométrica, temos que;
x = tg u → dx = sec² u du
Daí, vamos agora mudar os integrantes, já que a variável é "u", fica;
Para x = 1 → tg u = 1 → u = 45°
Para x = - 1 → tg u = → u = 135° ( como - 90° < u < 90° , logo u = 315° )
Então;
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1+tg^2u} \ .sec^2u \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}|sec \ u|.sec^2 \ u \ du=[/tex3]
Obs.1 | sec u | = sec u , pois , sec u > 0 ( - 90° < u < 90° ).
Assim;
[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\sqrt{1+x^2}dx=\int\limits_{315°}^{45°}sec^3u \ du[/tex3]
Obs.2 Como há " simetria", podemos multiplicar a última integral por dois ( 2 ) , fica;
[tex3]2.\int\limits_{0}^{45°}sec^3u \ du= \ ( I )[/tex3]
Para resolver a integral acima , ou você utiliza integral por partes ou a fórmula de recorrência.
Vou postar a fórmula de recorrência caso alguém queira saber( pesquisar ). Veja abaixo:
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^nu \ du=\frac{sec^{n-2}u.tg \ u}{n-1}+ \frac{n-2}{n-1}.\int\limits_{}^{}sec^{n-2}u \ du[/tex3]
Vou resolver por partes, temos;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du= \int\limits_{}^{}sec \ u.sec^2u \ du= sec \ u .tg
\ u-\int\limits_{}^{}sec \ u.tg \ u \ .tg \ u \ du[/tex3]
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
sec\ u.tg \ u \ -\int\limits_{}^{}sec \ u.tg^2 \ u \ du[/tex3]
Como tg² u = sec² (u) - 1 , resulta
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
sec\ u.tg \ u \ -\int\limits_{}^{}sec \ u.[sec
^2 (u)-1] \ du[/tex3]
Ou
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
sec\ u.tg \ u \ -\int\limits_{}^{}sec^3 \ u \ du+\int\limits_{}^{}sec \ u\ du[/tex3]
e, portanto,
[tex3]2.\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
sec\ u.tg \ u \ +\int\limits_{}^{}sec \ u\ du[/tex3]
e como
[tex3]\int\limits_{}^{}sec \ u \ du=ln \ |sec \ u + tg \ u |[/tex3] ,
Resulta
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
\frac{1}{2}.sec\ u.tg \ u \ + \frac{1}{2}.ln \ |sec \ u + tg \ u|+C[/tex3]
Substituindo o resultado encontrado acima em ( I ), vem;
[tex3]2.\int\limits_{0}^{45°}sec^3u \ du=
\frac{2}{2}.[sec\ u.tg \ u \ + ln \ |sec \ u + tg \ u|]_{0}^{45°}= \frac{2}{2}.[sec\ 45°.tg \ 45° \ + ln \ |sec \ 45° + tg \ 45°|] - \frac{2}{2}.[sec\ 0.tg \ 0 \ + ln \ |sec \ 0 + tg \ 0|] =[/tex3]
[tex3]= \sqrt{2}.1+ln \ |\sqrt{2} + 1| - 0[/tex3]
Como (√2) + 1 > 0 , logo ;
[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\sqrt{1+x^2} \ dx= \sqrt{2}+ln \ (\sqrt{2} + 1)[/tex3]
Bons estudos!
Solução
Utilizando substituição trigonométrica, temos que;
x = tg u → dx = sec² u du
Daí, vamos agora mudar os integrantes, já que a variável é "u", fica;
Para x = 1 → tg u = 1 → u = 45°
Para x = - 1 → tg u = → u = 135° ( como - 90° < u < 90° , logo u = 315° )
Então;
[tex3]\int\limits_{}^{}\sqrt{1+tg^2u} \ .sec^2u \ du=[/tex3]
[tex3]\int\limits_{}^{}|sec \ u|.sec^2 \ u \ du=[/tex3]
Obs.1 | sec u | = sec u , pois , sec u > 0 ( - 90° < u < 90° ).
Assim;
[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\sqrt{1+x^2}dx=\int\limits_{315°}^{45°}sec^3u \ du[/tex3]
Obs.2 Como há " simetria", podemos multiplicar a última integral por dois ( 2 ) , fica;
[tex3]2.\int\limits_{0}^{45°}sec^3u \ du= \ ( I )[/tex3]
Para resolver a integral acima , ou você utiliza integral por partes ou a fórmula de recorrência.
Vou postar a fórmula de recorrência caso alguém queira saber( pesquisar ). Veja abaixo:
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^nu \ du=\frac{sec^{n-2}u.tg \ u}{n-1}+ \frac{n-2}{n-1}.\int\limits_{}^{}sec^{n-2}u \ du[/tex3]
Vou resolver por partes, temos;
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du= \int\limits_{}^{}sec \ u.sec^2u \ du= sec \ u .tg
\ u-\int\limits_{}^{}sec \ u.tg \ u \ .tg \ u \ du[/tex3]
Assim,
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
sec\ u.tg \ u \ -\int\limits_{}^{}sec \ u.tg^2 \ u \ du[/tex3]
Como tg² u = sec² (u) - 1 , resulta
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
sec\ u.tg \ u \ -\int\limits_{}^{}sec \ u.[sec
^2 (u)-1] \ du[/tex3]
Ou
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
sec\ u.tg \ u \ -\int\limits_{}^{}sec^3 \ u \ du+\int\limits_{}^{}sec \ u\ du[/tex3]
e, portanto,
[tex3]2.\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
sec\ u.tg \ u \ +\int\limits_{}^{}sec \ u\ du[/tex3]
e como
[tex3]\int\limits_{}^{}sec \ u \ du=ln \ |sec \ u + tg \ u |[/tex3] ,
Resulta
[tex3]\int\limits_{}^{}sec^3u \ du=
\frac{1}{2}.sec\ u.tg \ u \ + \frac{1}{2}.ln \ |sec \ u + tg \ u|+C[/tex3]
Substituindo o resultado encontrado acima em ( I ), vem;
[tex3]2.\int\limits_{0}^{45°}sec^3u \ du=
\frac{2}{2}.[sec\ u.tg \ u \ + ln \ |sec \ u + tg \ u|]_{0}^{45°}= \frac{2}{2}.[sec\ 45°.tg \ 45° \ + ln \ |sec \ 45° + tg \ 45°|] - \frac{2}{2}.[sec\ 0.tg \ 0 \ + ln \ |sec \ 0 + tg \ 0|] =[/tex3]
[tex3]= \sqrt{2}.1+ln \ |\sqrt{2} + 1| - 0[/tex3]
Como (√2) + 1 > 0 , logo ;
[tex3]\int\limits_{-1}^{1}\sqrt{1+x^2} \ dx= \sqrt{2}+ln \ (\sqrt{2} + 1)[/tex3]
Bons estudos!
-
Auto Excluído (ID:19961)
- Última visita: 31-12-69
Jul 2018
14
18:53
Re: Integrais
Obrigada pela resposta 
Agora me tira uma dúvida, quando foi multiplicado por 2 o limite superior na se alterou, mas o inferior ficou zero, porque?
Agora me tira uma dúvida, quando foi multiplicado por 2 o limite superior na se alterou, mas o inferior ficou zero, porque?
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