Ensino Superior ⇒ Derivada Tópico resolvido

[RinaldoEN19]

Considerando todos os pontos da curva y=[tex3]e^{x}[/tex3]

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[tex3]e^{x}[/tex3]

, qual a menor distancia possível até a reta y=x-1 ?

A) 0
B)1
C)2
D)[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

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[tex3]\sqrt{2}[/tex3]

E)[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

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[tex3]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

Não possuo o gabarito ):

[Gauss]

Os pontos da curva [tex3]y=e^x[/tex3]

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[tex3]y=e^x[/tex3]

são da forma [tex3](x,e^x)[/tex3]

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[tex3](x,e^x)[/tex3]

. Partindo disso aí tem-se:

[tex3]D(x)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\rightarrow D(x)=\frac{|1.x-1.e^x-1|}{\sqrt{2}}\rightarrow D(x)=\frac{|x-e^x-1|}{\sqrt{2}}\\\\f(x)=|x-e^x-1|\ \therefore \ se\ u=x-e^x-1\rightarrow f(u)=|u|\\\\\frac{df(x)}{dx}=\frac{df(u)}{du}\frac{du}{dx}\rightarrow \frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{du}(|u|)\frac{d}{dx}(x-e^x-1)\rightarrow \\\\\frac{df(x)}{dx}=(1-e^x)\frac{d}{du}\left(\sqrt{u^2}\right)\rightarrow \frac{df(x)}{dx}=\frac{u(1-e^x)}{\sqrt{u^2}}\rightarrow \\\\\frac{df(x)}{dx}=\frac{(x-e^x-1)(1-e^x)}{|x-e^x-1|}\\\\\frac{dD(x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{d}{dx}(|x-e^x-1|)\rightarrow \frac{dD(x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{df(x)}{dx}\rightarrow \frac{dD(x)}{dx}=\frac{(x-e^x-1)(1-e^x)}{|x-e^x-1|\sqrt{2}}\\\\\frac{dD(x)}{dx}=0\rightarrow x-e^x-1=0\ (\alpha )\ \vee\ 1-e^x=0\ (\beta)\\\\(\beta):\ e^x=1\rightarrow xln(e)=ln(1)\rightarrow x=0\\\\x=0\rightarrow D(0)=\frac{|0-e^0-1|}{\sqrt{2}}\rightarrow D(0)=D_{min}=\frac{2}{\sqrt{2}}\ \therefore \ \boxed {D_{min}=\sqrt{2}} [/tex3]

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[tex3]D(x)=\frac{|ax+by+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}\rightarrow D(x)=\frac{|1.x-1.e^x-1|}{\sqrt{2}}\rightarrow D(x)=\frac{|x-e^x-1|}{\sqrt{2}}\\\\f(x)=|x-e^x-1|\ \therefore \ se\ u=x-e^x-1\rightarrow f(u)=|u|\\\\\frac{df(x)}{dx}=\frac{df(u)}{du}\frac{du}{dx}\rightarrow \frac{df(x)}{dx}=\frac{d}{du}(|u|)\frac{d}{dx}(x-e^x-1)\rightarrow \\\\\frac{df(x)}{dx}=(1-e^x)\frac{d}{du}\left(\sqrt{u^2}\right)\rightarrow \frac{df(x)}{dx}=\frac{u(1-e^x)}{\sqrt{u^2}}\rightarrow \\\\\frac{df(x)}{dx}=\frac{(x-e^x-1)(1-e^x)}{|x-e^x-1|}\\\\\frac{dD(x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{d}{dx}(|x-e^x-1|)\rightarrow \frac{dD(x)}{dx}=\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{df(x)}{dx}\rightarrow \frac{dD(x)}{dx}=\frac{(x-e^x-1)(1-e^x)}{|x-e^x-1|\sqrt{2}}\\\\\frac{dD(x)}{dx}=0\rightarrow x-e^x-1=0\ (\alpha )\ \vee\ 1-e^x=0\ (\beta)\\\\(\beta):\ e^x=1\rightarrow xln(e)=ln(1)\rightarrow x=0\\\\x=0\rightarrow D(0)=\frac{|0-e^0-1|}{\sqrt{2}}\rightarrow D(0)=D_{min}=\frac{2}{\sqrt{2}}\ \therefore \ \boxed {D_{min}=\sqrt{2}} [/tex3]

A equação que vem de [tex3](\alpha )[/tex3]

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[tex3](\alpha )[/tex3]

não tem solução analítica, por isso a descartamos.