Ensino SuperiorEDO - Não exata (Fator Integrante)

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diegolins
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Jun 2018 28 11:56

EDO - Não exata (Fator Integrante)

Mensagem não lida por diegolins »

Pessoal, bom dia!

Alguém poderia me ajudar na resolução desta EDO não exata utilizando o método do fator integrante?

[tex3]y(x^{2}+y^{2})dx + x(3x^{2}-5y^{2})dy=0[/tex3]

Até onde eu consegui chegar:

[tex3]M = y(x^{2}+y^{2})\rightarrow \frac{\partial M}{\partial y}=x^{2}+3y^{2}[/tex3]

[tex3]N = x(3x^{2}-5y^{2})\rightarrow \frac{\partial N}{\partial x}=9x^{2}-5y^{2}[/tex3]

Logo, a EDO não é exata. Então tentei procurar um fator integrante que dependa apenas da variável x ou apenas da variável y, fazendo-se:

[tex3]\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}=-8x^{2}+8y^{2}=8(-x^{2}+y^{2}) (Chamarei de Equação 1)[/tex3]

Dividindo-se "1" por M e por N, ambos fatores integrantes ficam dependente tanto de x quanto de y.

Não sei onde posso estar errando.

Alguém pode me dar algum auxílio? Desde já agradeço!




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jedi
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Jun 2018 29 00:54

Re: EDO - Não exata (Fator Integrante)

Mensagem não lida por jedi »

A solução dessa EDO pode ser encontrado pro substituição de variáveis

substituindo na equação

[tex3]y=xv[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dx}=\frac{(x.v)}{dx}=v+x.\frac{dv}{dx}[/tex3]

reescrevendo a equação

[tex3]-\frac{x(x^2+y^2)}{x(3x^2-5y^2)}=\frac{dy}{dx}[/tex3]

é só substituir na equação, então depois de algumas manipulações chegaremos em uma equação separável em x e v.

Última edição: jedi (Sex 29 Jun, 2018 00:55). Total de 1 vez.



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diegolins
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Jun 2018 29 11:32

Re: EDO - Não exata (Fator Integrante)

Mensagem não lida por diegolins »

Olá, jedi. Bom dia!

A questão pedia para resolver através de fator integrante... Inclusive ainda não estudei o método da substituição de variáveis.

Será que é possível resolver por fator integrante?

Obrigado!



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jedi
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Jun 2018 29 18:29

Re: EDO - Não exata (Fator Integrante)

Mensagem não lida por jedi »

Olá

Por fator integrante não encontrei uma forma de resolver. Também não consegui encontrar fatores que só dependam de x ou só de y.




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