Ensino Superior ⇒ Derivada implicita Tópico resolvido

[Josef]

Olá, poderiam me ajudar numa questão? Se possível, o mais detalhado e usando a notação dy/dx. Não sei fazer a reta tangente também.

Considere a curva definida pela equação
[tex3]x²y+x\sqrt{y}- y = 3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x²y+x\sqrt{y}- y = 3[/tex3]

Encontrar a equação da reta tangente no ponto (1,9)

Obrigado!

[jomatlove]

Resolucao
Sabemos que dy/dx=y'=f'(x)
Vamos usar y' que é mais prática.
[tex3]x^{2}y+x\sqrt{y}-y=3[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]x^{2}y+x\sqrt{y}-y=3[/tex3]

[tex3]2xy+x^{2} y'+\sqrt{y}+\frac{xy'}{2\sqrt{y}}-y'=0[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]2xy+x^{2} y'+\sqrt{y}+\frac{xy'}{2\sqrt{y}}-y'=0[/tex3]

[tex3]y'(x^{2}+\frac{x}{2\sqrt{y}}-1) =-2xy-\sqrt{y}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y'(x^{2}+\frac{x}{2\sqrt{y}}-1) =-2xy-\sqrt{y}[/tex3]

[tex3]f'(x)=-\frac{2xy+\sqrt{y}}{x^{2}+\frac{x}{2\sqrt{y}}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(x)=-\frac{2xy+\sqrt{y}}{x^{2}+\frac{x}{2\sqrt{y}}-1}[/tex3]

Assim,para (x,y)=(1,9),temos:
[tex3]f'(1) =-\frac{18+3}{1+\frac{1}{6}-1}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(1) =-\frac{18+3}{1+\frac{1}{6}-1}[/tex3]

[tex3]f'(1)=-126 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]f'(1)=-126 [/tex3]

Equaçao da reta tangente:
[tex3]y-9=-126(x-1) [/tex3]

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[tex3]y-9=-126(x-1) [/tex3]

[tex3]y=-126x+135 [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]y=-126x+135 [/tex3]