Ensino Superior ⇒ Cálculo de Volume / Cálculo 2 Tópico resolvido
Moderador: [ Moderadores TTB ]
Jun 2018
23
19:03
Cálculo de Volume / Cálculo 2
Esboce a região de integração e calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = x + y e limitado inferiormente pelo triângulo de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, 0)
-
- Mensagens: 4008
- Registrado em: Sex 05 Jan, 2018 19:45
- Última visita: 04-04-23
- Localização: Teresina- PI
Jun 2018
24
00:04
Re: Cálculo de Volume / Cálculo 2
Observe
Solução
[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{}dV[/tex3] , em que W é o sólido representado na figura abaixo:
Que pode ser escrito como;
W = { ( x , y , z ) [tex3]\in [/tex3] IR³ : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 - x e 0 ≤ z ≤ x + y }
Então;
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}\int\limits_{0}^{x+y}1 \ dz \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}[ z ]_{0}^{x+y} \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}(x+y) \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1} [xy+\frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x} \ dx[/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(1-x^2)dx[/tex3]
[tex3]V=\frac{1}{2}.[x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}= \frac{1}{3}[/tex3]
Portanto, o volume encontrado é [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] u.v.
Obs. O plano z = x + y, digamos que ele é a "tampa inclinada" do sólido W.
Bons estudos!!
Solução
[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{}dV[/tex3] , em que W é o sólido representado na figura abaixo:
Que pode ser escrito como;
W = { ( x , y , z ) [tex3]\in [/tex3] IR³ : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 - x e 0 ≤ z ≤ x + y }
Então;
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}\int\limits_{0}^{x+y}1 \ dz \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}[ z ]_{0}^{x+y} \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}(x+y) \ dy \ dx[/tex3]
[tex3]V=\int\limits_{0}^{1} [xy+\frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x} \ dx[/tex3]
[tex3]V = \frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(1-x^2)dx[/tex3]
[tex3]V=\frac{1}{2}.[x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}= \frac{1}{3}[/tex3]
Portanto, o volume encontrado é [tex3]\frac{1}{3}[/tex3] u.v.
Obs. O plano z = x + y, digamos que ele é a "tampa inclinada" do sólido W.
Bons estudos!!
-
- Tópicos Semelhantes
- Respostas
- Exibições
- Última msg
-
- 1 Respostas
- 4960 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 0 Respostas
- 281 Exibições
-
Última msg por lua12minha12
-
- 1 Respostas
- 4432 Exibições
-
Última msg por Carlosft57
-
- 1 Respostas
- 614 Exibições
-
Última msg por deOliveira
-
- 1 Respostas
- 1389 Exibições
-
Última msg por Daleth