Ensino Superior ⇒ Cálculo de Volume / Cálculo 2 Tópico resolvido

[Moacir]

Esboce a região de integração e calcule o volume do sólido limitado superiormente por z = x + y e limitado inferiormente pelo triângulo de vértices (0, 0, 0), (0, 1, 0) e (1, 0, 0)

[Cardoso1979]

Observe

Solução

[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{}dV[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{}^{}\int\limits_{W}^{}\int\limits_{}^{}dV[/tex3]

, em que W é o sólido representado na figura abaixo:

15298092927161175231043.jpg (55.67 KiB) Exibido 1294 vezes

Que pode ser escrito como;

W = { ( x , y , z ) [tex3]\in [/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\in [/tex3]

IR³ : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ 1 - x e 0 ≤ z ≤ x + y }

Então;

[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}\int\limits_{0}^{x+y}1 \ dz \ dy \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}\int\limits_{0}^{x+y}1 \ dz \ dy \ dx[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}[ z ]_{0}^{x+y} \ dy \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}[ z ]_{0}^{x+y} \ dy \ dx[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}(x+y) \ dy \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{1}\int\limits_{0}^{1-x}(x+y) \ dy \ dx[/tex3]

[tex3]V=\int\limits_{0}^{1} [xy+\frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x} \ dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\int\limits_{0}^{1} [xy+\frac{y^2}{2}]_{0}^{1-x} \ dx[/tex3]

[tex3]V = \frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(1-x^2)dx[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V = \frac{1}{2}.\int\limits_{0}^{1}(1-x^2)dx[/tex3]

[tex3]V=\frac{1}{2}.[x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}= \frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]V=\frac{1}{2}.[x - \frac{x^3}{3}]_{0}^{1}= \frac{1}{3}[/tex3]

Portanto, o volume encontrado é [tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

Código: Selecionar tudoSHIFT+Click na eq = ZOOM

[tex3]\frac{1}{3}[/tex3]

u.v.

Obs. O plano z = x + y, digamos que ele é a "tampa inclinada" do sólido W.

Bons estudos!!