Ensino Superior ⇒ Equações Diferenciais pelo Teorema de Leibniz Tópico resolvido

[Cferreira]

Encontre a expressão para [tex3]y^{4}[/tex3]

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[tex3]y^{4}[/tex3]

se y=[tex3]e^{-t}sent[/tex3]

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[tex3]e^{-t}sent[/tex3]

Resposta: [tex3]y^{(4)}=-4e^{-t}sent[/tex3]

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[tex3]y^{(4)}=-4e^{-t}sent[/tex3]

[Cardoso1979]

Observe

Solução

[tex3]\frac{dy}{dt}= \frac{d}{dt}( e^{-t}.sen \ t ) = ( e^{-t}.sen \ t )' = [/tex3]

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[tex3]\frac{dy}{dt}= \frac{d}{dt}( e^{-t}.sen \ t ) = ( e^{-t}.sen \ t )' = [/tex3]

→ aplique a regra do produto.

Ou

[tex3]\frac{dy}{dt}= \frac{d}{dt}( e^{-t}.sen \ t )[/tex3]

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[tex3]\frac{dy}{dt}= \frac{d}{dt}( e^{-t}.sen \ t )[/tex3]

[tex3]\frac{dy}{dt}=[(\frac{d}{dt} e^{-t}).sen \ t+e^{-t}.(\frac{d}{dt}sen \ t ) ]= e^{-t}.[ cos \
(t)- sen \ (t)][/tex3]

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[tex3]\frac{dy}{dt}=[(\frac{d}{dt} e^{-t}).sen \ t+e^{-t}.(\frac{d}{dt}sen \ t ) ]= e^{-t}.[ cos \
(t)- sen \ (t)][/tex3]

Siga esse mesmo processo( derive mais três vezes ), que você obterá:

[tex3]\frac{d^4y}{dt^4}= - 4e^{-t}.sen \ t[/tex3]

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[tex3]\frac{d^4y}{dt^4}= - 4e^{-t}.sen \ t[/tex3]

Que é ;

[tex3]y^{(4)}= - 4e^{-t}.sen \ t [/tex3]

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[tex3]y^{(4)}= - 4e^{-t}.sen \ t [/tex3]

Bons estudos!!